Mostre que, dada f : [a, b] −→ R, as correspondentes funções f+ e f−, definidas por f+(x) = f (x), se f (x) ≥ 0 e f+(x) = 0, se f (x) < 0, assim ...

Para mostrar que as funções f+ e f- são obtidas diretamente das fórmulas f+(x) = 1/2(f(x) + |f(x)|) e f-(x) = 1/2(f(x) - |f(x)|), podemos analisar os casos em que f(x) é maior ou igual a zero e quando é menor que zero. Quando f(x) é maior ou igual a zero, temos que f+(x) = f(x), pois f(x) já é positivo. E quando f(x) é menor que zero, temos que f+(x) = 0, pois estamos substituindo o valor negativo por zero. Da mesma forma, quando f(x) é menor ou igual a zero, temos que f-(x) = f(x), pois f(x) já é negativo. E quando f(x) é maior que zero, temos que f-(x) = 0, pois estamos substituindo o valor positivo por zero. Agora, para mostrar que se f for contínua, então f+ e f- também são contínuas, podemos utilizar o fato de que a soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas também são contínuas. Como f(x) é contínua, |f(x)| também é contínua. E como f(x) e |f(x)| são contínuas, então f(x) + |f(x)| e f(x) - |f(x)| também são contínuas. Portanto, f+(x) = 1/2(f(x) + |f(x)|) e f-(x) = 1/2(f(x) - |f(x)|) são combinações contínuas de funções contínuas, o que implica que f+ e f- são contínuas quando f é contínua.