Mostre que, se f , g : [a, b] −→ R são funções cont́ınuas tais que f (x) ≥ g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], então∫ b a f (x) dx ≥ ∫ b a g(x) dx ...

Essa é uma demonstração do Teorema do Valor Médio para Integrais. Vamos começar considerando a função h(x) = f(x) - g(x). Como f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], temos que h(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Agora, vamos considerar a integral definida de h(x) no intervalo [a, b]: ∫ b a h(x) dx Pelo Teorema do Valor Médio para Integrais, existe um número c ∈ [a, b] tal que: ∫ b a h(x) dx = h(c) * (b - a) Como h(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], temos que h(c) ≥ 0. Portanto, podemos escrever: ∫ b a h(x) dx ≥ 0 Agora, vamos substituir h(x) por f(x) - g(x) na desigualdade acima: ∫ b a (f(x) - g(x)) dx ≥ 0 Distribuindo o sinal negativo, temos: ∫ b a f(x) dx - ∫ b a g(x) dx ≥ 0 Reorganizando os termos, obtemos: ∫ b a f(x) dx ≥ ∫ b a g(x) dx Portanto, concluímos que se f(x) ≥ g(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], então a integral de f(x) no intervalo [a, b] é maior ou igual à integral de g(x) no mesmo intervalo.