3) Um consumidor tem uma função de utilidade e renda igual a U(x, y) = xy + 10x e renda igual a $10. Considerando que o preço de x é $1 e o preço d...

Para encontrar a cesta ótima, precisamos maximizar a função de utilidade sujeita à restrição orçamentária. Vamos lá! A função de utilidade é dada por U(x, y) = xy + 10x, onde x representa a quantidade consumida do bem x e y representa a quantidade consumida do bem y. A restrição orçamentária é dada pelo preço dos bens e pela renda do consumidor. No caso, o preço de x é $1, o preço de y é $2 e a renda é $10. Podemos escrever a restrição orçamentária como 1x + 2y = 10, considerando os preços e a renda. Agora, vamos maximizar a função de utilidade sujeita à restrição orçamentária. Podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange para isso. Montando a função Lagrangeana, temos: L(x, y, λ) = xy + 10x - λ(1x + 2y - 10) Agora, vamos derivar parcialmente em relação a x, y e λ, e igualar as derivadas a zero: ∂L/∂x = y + 10 - λ = 0 ∂L/∂y = x - 2λ = 0 ∂L/∂λ = 1x + 2y - 10 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de x, y e λ. Da primeira equação, temos y + 10 - λ = 0, o que implica em λ = y + 10. Substituindo λ na segunda equação, temos x - 2(y + 10) = 0, o que implica em x = 2y + 20. Substituindo x e λ na terceira equação, temos 1(2y + 20) + 2y - 10 = 0. Resolvendo essa equação, encontramos y = 2/3. Substituindo y na equação x = 2y + 20, temos x = 2(2/3) + 20, o que implica em x = 4/3 + 20, resultando em x = 64/3. Portanto, a cesta ótima é composta por x = 64/3 e y = 2/3.