Determine o rotacional e o divergente dos seguintes campos vetoriais: (a) F (x, y, z) = 1/√(x^2+y^2+z^2)(xi + yj + zk); (b) F (x, y, z) = exysen(z)...

Vamos calcular o rotacional e o divergente dos campos vetoriais dados: (a) Para o campo vetorial F(x, y, z) = (1/√(x^2+y^2+z^2))(xi + yj + zk): O rotacional de F é dado por: ∇ × F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) ∇ × (xi + yj + zk) Calculando o rotacional, temos: ∇ × F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) [(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k] Substituindo os valores de Fx, Fy e Fz, temos: ∇ × F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) [(0 - 0)i + (0 - 0)j + (0 - 0)k] ∇ × F = 0 O rotacional do campo vetorial F é igual a zero. O divergente de F é dado por: ∇ · F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) ∇ · (xi + yj + zk) Calculando o divergente, temos: ∇ · F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) (∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z) Substituindo os valores de Fx, Fy e Fz, temos: ∇ · F = (1/√(x^2+y^2+z^2)) (1 + 1 + 1) ∇ · F = (3/√(x^2+y^2+z^2)) Portanto, o rotacional do campo vetorial F é zero e o divergente é igual a (3/√(x^2+y^2+z^2)). (b) Para o campo vetorial F(x, y, z) = exysen(z)j + ytg^(-1)(x/z)k: O rotacional de F é dado por: ∇ × F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k Calculando o rotacional, temos: ∇ × F = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (∂(y*tg^(-1)(x/z))/∂x - ∂(exysen(z))/∂y)k Simplificando, temos: ∇ × F = (∂(y*tg^(-1)(x/z))/∂x - ∂(exysen(z))/∂y)k O divergente de F é dado por: ∇ · F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z Calculando o divergente, temos: ∇ · F = ∂(exysen(z))/∂x + ∂(y*tg^(-1)(x/z))/∂y + 0 Simplificando, temos: ∇ · F = ∂(exysen(z))/∂x + ∂(y*tg^(-1)(x/z))/∂y Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.