1 Lista de Exercícios de Cálculo IV

Prévia do material em texto

PUC Minas
1a Lista de Exerćıcios de Cálculo IV
Profa Neila Mara Gomes de Oliveira
1. Calcule a integral de linha ∫
C
xeyzds
onde C é o segmento de reta de (0, 0, 0) à (1, 2, 3).
2. Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F (x, y) = x
−→
i + (y + 2)
−→
j
sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide −→r (t) = (t − sen(t))−→i + (1 −
cos(t))
−→
j , 0 ≤ t ≤ 2π.
3. Verifique e o campo vetorial F (x, y) = (lny + 2xy3)
−→
i + (3x2y2 + x
y
)
−→
j é conservativo e,
em caso afirmativo, determine uma função potencial para F .
4. Calcule
∫
C
F · dr onde F (x, y, z) = (y2z + 2xz2)−→i + (2xyz)−→j + (xy2 + 2x2z)
−→
k e C : x =
√
t, y = t+ 1, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
5. Calcule
∫
C
(y + e
√
x)dx + (2x + cos(y2))dy, onde C é o limite da região englobada pelas
parábolas y = x2 e x = y2 (suponha que a curva tem orientação positiva).
6. Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força F (x, y) = x(x+y)
−→
i +
xy2
−→
j ao mover uma part́ıcula da origem ao longo do eixo x para (1, 0), em seguida ao
longo de um segmento de reta até (0, 1), e, então, de volta à origem ao longo do eixo y.
7. Determine o rotacional e o divergente dos seguintes campos vetoriais:
(a) F (x, y, z) = 1√
x2+y2+z2
(x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k );
(b) F (x, y, z) = exysen(z)
−→
j + ytg−1(x/z)
−→
k .
8. Existe um campo vetorial G em R3 tal que rot(G) = (xsen(y), cos(y), z− xy)? Explique.