Sejam dados os pontos A=(1,-1,1), B=(2,1,0) e C=(x ,2,1). Determine x tal que ABC forme um triângulo retângulo com hipotenusa BC. a. x= -5 b. x= ...

RESPOSTA LETRA - A -5

Se o triângulo é retângulo então o vetor AB é ortogonal ao vetor AC, isso implica que o produto escalar entre eles é 0. Ou seja :

vetores :

Daí :

Para que o triângulo ABC forme um triângulo retângulo com hipotenusa BC, devemos verificar se o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos B e C: BC = √((x - 2)² + (2 - 1)² + (1 - 0)²) BC = √((x - 2)² + 1 + 1) BC = √((x - 2)² + 2) Agora, vamos calcular a distância entre os pontos A e C: AC = √((x - 1)² + (2 - (-1))² + (1 - 1)²) AC = √((x - 1)² + 3² + 0) AC = √((x - 1)² + 9) Para que o triângulo ABC seja retângulo, a soma dos quadrados das distâncias AC e BC deve ser igual ao quadrado da hipotenusa BC: (√((x - 2)² + 2))² = (√((x - 1)² + 9))² + (√((1 - 2)² + (-1 - 2)² + (1 - 1)²))² Simplificando a equação: (x - 2)² + 2 = (x - 1)² + 9 + 1 Expandindo os quadrados: x² - 4x + 4 + 2 = x² - 2x + 1 + 9 + 1 Simplificando a equação novamente: x² - 4x + 6 = x² - 2x + 11 Subtraindo x² de ambos os lados: -4x + 6 = -2x + 11 Subtraindo 6 de ambos os lados: -4x = -2x + 5 Somando 2x em ambos os lados: -2x = 5 Dividindo por -2: x = -5/2 Portanto, a resposta correta é x = -5/2.