(b) (1,0 ponto) Sejam A e B conjuntos não vazios quaisquer. Prove que A×B = B×A se, e somente se, A = B.

Para provar que A×B = B×A se, e somente se, A = B, precisamos mostrar duas coisas: 1. Se A = B, então A×B = B×A: Se A = B, isso significa que todos os elementos de A também estão em B, e vice-versa. Portanto, quando formamos o produto cartesiano A×B, todos os pares ordenados (a, b) em que a pertence a A e b pertence a B também estarão em B×A. Da mesma forma, quando formamos o produto cartesiano B×A, todos os pares ordenados (b, a) em que b pertence a B e a pertence a A também estarão em A×B. Portanto, A×B = B×A. 2. Se A×B = B×A, então A = B: Suponha que A×B = B×A. Vamos assumir por contradição que A ≠ B. Isso significa que existe pelo menos um elemento em A que não está em B, ou vice-versa. Sem perda de generalidade, vamos supor que existe um elemento a em A que não está em B. Agora, considere o par ordenado (a, b) em que a pertence a A e b pertence a B. Como A×B = B×A, esse par ordenado também deve estar em B×A. No entanto, em B×A, o primeiro elemento do par ordenado é um elemento de B, o que significa que a está em B. Isso contradiz nossa suposição inicial de que a não está em B. Portanto, nossa suposição de que A ≠ B está errada, e concluímos que A = B. Portanto, provamos que A×B = B×A se, e somente se, A = B.