Questão 5: (a) (0,5 ponto) Prove que para qualquer número inteiro n temos mdc(n, n + 1) = 1. (b) (0,5 ponto) Enuncie o Teorema Fundamental da Ari...

(a) Para provar que para qualquer número inteiro n temos mdc(n, n + 1) = 1, podemos usar o algoritmo de Euclides. Suponha que mdc(n, n + 1) seja diferente de 1. Isso significa que existe um divisor comum maior que 1 entre n e n + 1. No entanto, se um número divide tanto n quanto n + 1, ele também deve dividir a diferença entre eles, que é 1. Mas o único número que divide 1 é o próprio 1. Portanto, não pode haver um divisor comum maior que 1 entre n e n + 1, o que implica que mdc(n, n + 1) = 1. (b) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo número inteiro maior que 1 pode ser expresso de forma única como um produto de números primos, até a ordem dos fatores. Isso significa que, dado qualquer número inteiro maior que 1, podemos decompor esse número em fatores primos e a decomposição será única, exceto pela ordem dos fatores. (c) Para mostrar que o conjunto dos números primos, P = {p1, p2, ...}, é infinito, podemos usar um argumento por contradição. Suponha que P seja finito, ou seja, existem apenas um número finito de números primos. Podemos denotar esses números primos como p1, p2, ..., pk. Agora, considere o número N = p1 * p2 * ... * pk. Se adicionarmos 1 a N, obtemos N + 1. N + 1 não pode ser divisível por nenhum dos primos p1, p2, ..., pk, pois qualquer um desses primos dividiria N + 1 - N, que é igual a 1. Isso significa que N + 1 é um número primo que não está na lista original de primos p1, p2, ..., pk. Portanto, chegamos a uma contradição, pois encontramos um número primo adicional. Portanto, concluímos que o conjunto dos números primos é infinito.