De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada ...

Para encontrar o comprimento do arco da curva, podemos utilizar a fórmula do comprimento de arco em coordenadas cartesianas. A fórmula é dada por: L = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx No caso da curva dada por y = x² no intervalo fechado [0, 2], podemos calcular o comprimento do arco da seguinte maneira: dy/dx = 2x Substituindo na fórmula do comprimento de arco, temos: L = ∫√(1 + (2x)²) dx L = ∫√(1 + 4x²) dx Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição trigonométrica. Fazendo x = (1/2)√(tanθ), temos: dx = (1/2)sec²θ dθ Substituindo na integral, temos: L = ∫√(1 + 4(1/4)tan²θ) (1/2)sec²θ dθ L = (1/2)∫√(1 + tan²θ) sec²θ dθ L = (1/2)∫√sec²θ dθ L = (1/2)∫secθ dθ Integrando secθ, temos: L = (1/2)ln|secθ + tanθ| + C Agora, precisamos encontrar os limites de integração. No intervalo [0, 2], temos: θ = arctan(2/√2) = π/4 θ = arctan(0/√2) = 0 Substituindo os limites de integração na fórmula do comprimento de arco, temos: L = (1/2)ln|sec(π/4) + tan(π/4)| - (1/2)ln|sec(0) + tan(0)| L = (1/2)ln|√2 + 1| - (1/2)ln|1 + 0| L = (1/2)ln(√2 + 1) Portanto, a alternativa correta é a letra A) 3√5 u. c.