Questão resolvida - Encontre a curvatura da parábola y x nos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 4) - Cálculo Volume 2 - 5 Edição - James Stewart - Comprimento de Arco e Curvatura - Cálculo II

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• Encontre a curvatura da parábola nos pontos , e .y = x2 0, 0( ) 1, 1( ) 2, 4( )
(Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 13.3 - Exemplo. 5)
 
Resolução:
 
A curvatura de uma curva em um ponto é calculada usando-se a fórmula da curvatura, dada 
por:
 
𝜅 =
|y''|
(1 + (y') )2
3
2
 
Onde é a primeira derivada de em relação a (a inclinação da curva) e é a segunda y' y x y''
derivada de em relação a (a taxa de variação da inclinação).y x
 
Assim, devemos calcular as derivadas e , como feito na sequência;y' y''
 
y' = 2x e y'' = 2
 
Agora, vamos calcular a curvatura nos pontos dados , e , substituindo 0, 0( ) 1, 1( ) 2, 4( )
esses pontos na equação 1:
 
1. Ponto :0, 0( )
 
𝜅 = 𝜅 = 𝜅 = 𝜅 = 𝜅 =(0,0)
|2|
(1 + (2 ⋅ 0) )2
3
2
→
2
(1 + (0) )2
3
2
→
2
(1 + 0)
3
2
→
2
(1)
3
2
→
2
1
 
𝜅 = 2
 
 
(1)
(Resposta 1)
2. Ponto :1, 1( )
 
𝜅 = 𝜅 = 𝜅 = 𝜅 =(1,1)
2
(1 + (2 ⋅ 1) )2
3
2
→ (1,1)
2
(1 + (2) )2
3
2
→ (1,1)
2
(1 + 4)
3
2
→ (1,1)
2
(5)
3
2
𝜅 = ≅ 0, 18(1,1)
2
5 5
 
3. Ponto :2, 4( )
 
𝜅 = 𝜅 = 𝜅 = 𝜅 =(2,4)
|2|
(1 + (2 ⋅ 2) )2
3
2
→ (2,4)
2
(1 + (4) )2
3
2
→ (2,4)
2
(1 + 16)
3
2
→ (2,4)
2
(17)
3
2
𝜅 = ≅ 0, 03(2,4)
2
17 17
 
 
𝜅 = 𝜅 = 𝜅 𝜅 =(1,1)
2
53
→ (1,1)
2
5 ⋅ 52
→ (1,1) → (1,1)
2
52 5
𝜅 = 𝜅 = 𝜅 𝜅 =(2,4)
2
173
→ (2,4)
2
17 ⋅ 52
→ (2,4) → (2,4)
2
172 17
(Resposta 2)
(Resposta - 3)