Considere os pontos A = (3, 2) e B no segundo quadrante e pertencente `a reta r : x+ 2y = 7, onde ||−→AB|| = 2√ 5. Se C ´e um c´ırculo de centro C ...

Para determinar o centro e o raio do círculo, podemos começar encontrando o ponto médio do segmento AB. O ponto médio é dado pela média das coordenadas dos pontos A e B. Ponto médio: x = (3 + xB) / 2 y = (2 + yB) / 2 Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto B na equação da reta r: x + 2y = 7. Substituindo y por (7 - x) / 2 na equação da reta, temos: x + 2((7 - x) / 2) = 7 x + 7 - x = 7 7 = 7 Isso significa que o ponto B pertence à reta r. Agora, podemos encontrar as coordenadas do ponto médio: x = (3 + xB) / 2 2 = (2 + yB) / 2 Resolvendo essas equações, encontramos: x = (3 + xB) / 2 2 = (2 + yB) / 2 Multiplicando a segunda equação por 2, temos: 4 = 2 + yB yB = 2 Substituindo yB = 2 na primeira equação, temos: x = (3 + xB) / 2 2 = (2 + 2) / 2 2 = 4 / 2 2 = 2 Isso significa que o ponto médio do segmento AB é (2, 2). Agora, podemos determinar o raio do círculo. Sabemos que a distância entre os pontos A e B é igual a 2√5. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos: √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) = 2√5 Substituindo as coordenadas dos pontos A e B, temos: √((xB - 3)^2 + (2 - 2)^2) = 2√5 √((xB - 3)^2) = 2√5 (xB - 3)^2 = 4 * 5 (xB - 3)^2 = 20 xB - 3 = ±√20 xB = 3 ± 2√5 Portanto, o centro do círculo é (3 ± 2√5, 0) e o raio é 2√5. A equação do círculo é dada por: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 Substituindo as coordenadas do centro e o raio, temos: (x - (3 ± 2√5))^2 + (y - 0)^2 = (2√5)^2 (x - (3 ± 2√5))^2 + y^2 = 20 A equação paramétrica da reta perpendicular à reta r que passa pelo ponto médio do segmento AB é dada por: x = xM + t * (-2) y = yM + t * 1 Substituindo as coordenadas do ponto médio, temos: x = 2 + t * (-2) y = 2 + t * 1 Verificando se o centro C pertence a essa reta, substituímos as coordenadas do centro na equação paramétrica da reta e verificamos se a igualdade é satisfeita. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.