Considere os pontos A = (3, 2) e B no segundo quadrante e pertencente à reta r : x + 2y = 7, onde ||−→AB|| = 2√5. Se C é um ćırculo de centro C ...

Para determinar o centro e o raio do círculo, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Encontrar o ponto médio M do segmento AB, que será o centro do círculo. 2. Calcular a distância entre A e B, que será o diâmetro do círculo, e dividir por 2 para obter o raio. 1. O ponto médio M do segmento AB é dado por: M = ((3 + xB)/2, (2 + yB)/2) Substituindo xB e yB na equação da reta r, temos: x + 2y = 7 xB + 2yB = 7 Logo, xB = 7 - 2yB Substituindo na fórmula do ponto médio, temos: M = ((3 + 7 - 2yB)/2, (2 + yB)/2) M = (5 - yB/2, 1 + yB/2) 2. A distância entre A e B é dada por: dAB = ||−→AB|| = 2√5 Como AB é um diâmetro do círculo, temos: dAB = 2r r = dAB/2 = √5 Portanto, o centro do círculo é M = (5 - yB/2, 1 + yB/2) e o raio é r = √5. Para escrever a equação do círculo, basta utilizar a fórmula: (x - h)² + (y - k)² = r² Substituindo h e k pelas coordenadas do centro M e r pelo valor encontrado, temos: (x - 5 + yB/2)² + (y - 1 - yB/2)² = 5 Para escrever a equação da reta p, que é perpendicular à reta r e passa pelo ponto médio M, podemos utilizar a seguinte estratégia: 1. Encontrar o coeficiente angular da reta r. 2. Encontrar o coeficiente angular da reta perpendicular a r, que será o oposto e inverso do coeficiente angular de r. 3. Utilizar a equação ponto-inclinação para encontrar a equação da reta p, que passa pelo ponto M e tem o coeficiente angular encontrado. 1. O coeficiente angular da reta r é dado por: m = -1/2 2. O coeficiente angular da reta perpendicular a r é dado por: m' = 2 (oposto e inverso de m) 3. Utilizando a equação ponto-inclinação, temos: y - (1 + yB/2) = 2(x - (5 - yB/2)) y - 1 - yB/2 = 2x - 10 + yB 2x - y + (yB/2 - 9) = 0 Portanto, a equação da reta p é 2x - y + (yB/2 - 9) = 0.