Considere os pontos A = (3, 2), B = (0, −2) e a reta l : 5x − 12y = −9 para resolver as seguintes questões. (a) Determine a projeção ortogonal d...

(a) Para determinar a projeção ortogonal do vetor →AB sobre a reta l, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta l e a perpendicular a l que passa pelo ponto B. Primeiro, vamos encontrar a equação da reta perpendicular a l que passa pelo ponto B. A equação da reta l pode ser escrita como y = (5/12)x + 3/4. A reta perpendicular a l terá uma inclinação oposta e recíproca, ou seja, −12/5. Usando a equação ponto-inclinação, podemos escrever a equação da reta perpendicular como y + 2 = −(12/5)(x − 0), ou seja, y = −(12/5)x − 2. Agora, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta l e a perpendicular a l que passa pelo ponto B. Resolvendo o sistema de equações 5x − 12y = −9 e y = −(12/5)x − 2, encontramos o ponto de interseção P = (−39/169, 102/169). A projeção ortogonal do vetor →AB sobre a reta l é o vetor →AP. Portanto, podemos encontrar a projeção ortogonal calculando →AP = →AB · (→u/||→u||), onde →u é o vetor unitário na direção da reta l. A equação da reta l pode ser escrita como 5x − 12y − 9 = 0, o que significa que →u = (12/13, 5/13). Então, ||→u|| = √(12² + 5²) = 13, e →AB = (−3, −4). Portanto, →AP = →AB · (→u/||→u||) = (−3, −4) · (12/169, 5/169) = (−36/169, −15/169). (b) Para encontrar a equação cartesiana das retas bissetrizes entre a reta l e a reta que passa pelos pontos A e B, primeiro precisamos encontrar o ponto de interseção entre essas duas retas. A equação da reta que passa pelos pontos A e B pode ser escrita como y − 2 = (−4/3)(x − 3), ou seja, y = (−4/3)x + 10. Resolvendo o sistema de equações 5x − 12y = −9 e y = (−4/3)x + 10, encontramos o ponto de interseção Q = (−99/169, 442/169). Agora, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos P e Q. A inclinação dessa reta pode ser encontrada como a média das inclinações das retas l e AB, ou seja, (5/12 − 4/3)/2 = −11/36. Usando a equação ponto-inclinação, podemos escrever a equação da reta que passa pelos pontos P e Q como y − (102/169) = (−11/36)(x + 39/169), ou seja, y = (−11/36)x + 102/169 + 429/676. Simplificando, obtemos y = (−11/36)x + 1023/676. Essa é a equação cartesiana de uma das retas bissetrizes. Para encontrar a outra reta bissetriz, podemos usar o mesmo método, mas com a inclinação oposta, ou seja, 11/36. A equação da outra reta bissetriz é y = (11/36)x + 1023/676 − 858/169, ou seja, y = (11/36)x − 165/676.