Vetores linearmente independentes determinam soluções de equações diferenciais que modelam inúmeros problemas de todas as ordens nas ciências aplic...

Para que os vetores (au + bv) e (cu + dv) sejam linearmente independentes, as condições necessárias são: 1. a e b não podem ser ambos iguais a zero. 2. c e d não podem ser ambos iguais a zero. Essas condições garantem que os vetores (au + bv) e (cu + dv) não possam ser escritos como combinações lineares dos vetores u e v, o que implica em sua linearmente independência. Para demonstrar essa implicação, podemos partir da suposição de que u e v são linearmente independentes. Se (au + bv) e (cu + dv) fossem linearmente dependentes, isso significaria que existem escalares α e β, não ambos iguais a zero, tais que: α(au + bv) + β(cu + dv) = 0 Expandindo essa equação, temos: (αa + βc)u + (αb + βd)v = 0 Como u e v são linearmente independentes, isso implica que os coeficientes (αa + βc) e (αb + βd) devem ser iguais a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações: αa + βc = 0 αb + βd = 0 Se a e b não forem ambos iguais a zero, podemos dividir a primeira equação por a e a segunda equação por b: α + (βc/a) = 0 (αb/a) + βd = 0 Agora, se c e d não forem ambos iguais a zero, podemos dividir a primeira equação por c e a segunda equação por d: (α/c) + β = 0 α + (βd/c) = 0 Essas equações mostram que α e β devem ser iguais a zero, o que contradiz a suposição de que não são ambos iguais a zero. Portanto, concluímos que (au + bv) e (cu + dv) são linearmente independentes se a e b não forem ambos iguais a zero, e c e d não forem ambos iguais a zero.

Admite apenas a solução trivial se detT ≠ 0 ↔ ad - cb ≠ 0