Dados três vetores Linearmente Independentes (LI), temos uma base em . Sabendo que é uma base do pois os três vetores são Linearmente Independent...

Para determinar o vetor coordenada de um vetor em relação a uma base, precisamos encontrar as coordenadas desse vetor quando ele é escrito como uma combinação linear dos vetores da base. Nesse caso, como temos que os vetores são LI e formam uma base do , podemos escrever o vetor como uma combinação linear desses vetores: = a + b + c Para encontrar as coordenadas do vetor em relação à base B, precisamos encontrar os valores de a, b e c. Para isso, podemos resolver o sistema linear formado pelas equações acima. Uma forma de fazer isso é utilizando o método da eliminação de Gauss: 1. Escrevemos a matriz aumentada do sistema: [ 1 2 1 | x ] [ 2 1 2 | y ] [ 3 3 3 | z ] 2. Subtraímos duas vezes a primeira linha da segunda linha: [ 1 2 1 | x ] [ 0 -3 0 | y - 2x ] [ 3 3 3 | z ] 3. Subtraímos três vezes a primeira linha da terceira linha: [ 1 2 1 | x ] [ 0 -3 0 | y - 2x ] [ 0 -3 0 | z - 3x ] 4. Dividimos a segunda linha por -3: [ 1 2 1 | x ] [ 0 1 0 | (2x - y)/3 ] [ 0 -3 0 | z - 3x ] 5. Subtraímos duas vezes a segunda linha da primeira linha: [ 1 0 1 | (x + 2y)/3 ] [ 0 1 0 | (2x - y)/3 ] [ 0 -3 0 | z - 3x ] 6. Subtraímos três vezes a segunda linha da terceira linha: [ 1 0 1 | (x + 2y)/3 ] [ 0 1 0 | (2x - y)/3 ] [ 0 0 0 | z - 3x + 3(2x - y)/3 ] 7. Simplificamos a terceira linha: [ 1 0 1 | (x + 2y)/3 ] [ 0 1 0 | (2x - y)/3 ] [ 0 0 0 | x + y - z ] Portanto, temos que: x + y - z = 0 Podemos escolher uma das variáveis (por exemplo, x) e expressar as outras em função dela: x = t y = z - t z = t + z Assim, podemos escrever o vetor como: = a + b + c = t(1, 2, 1) + (z - t)(2, 1, 2) + (t + z)(3, 3, 3) = (3t + 2z, 2t + z, 3t + 2z) Portanto, as coordenadas do vetor em relação à base B são (3t + 2z, 2t + z, 3t + 2z). Como não foi fornecido o valor de t, não podemos determinar as coordenadas exatas do vetor.