Resolver o P.V.I y′ = 1 + 3x^2 3y^2 − 6y , y(0) = 1.

Para resolver esse Problema de Valor Inicial (PVI), podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos começar separando as variáveis y e x: (3y^2 - 6y) dy = (1 + 3x^2) dx Agora, vamos integrar ambos os lados da equação: ∫ (3y^2 - 6y) dy = ∫ (1 + 3x^2) dx Para integrar o lado esquerdo, podemos usar a regra da potência: ∫ (3y^2 - 6y) dy = y^3 - 3y^2/2 + C1 Para integrar o lado direito, também usamos a regra da potência: ∫ (1 + 3x^2) dx = x + x^3 + C2 Agora, igualamos as duas expressões: y^3 - 3y^2/2 + C1 = x + x^3 + C2 Como temos o valor inicial y(0) = 1, podemos substituir x = 0 e y = 1 na equação: 1^3 - 3(1)^2/2 + C1 = 0 + 0^3 + C2 1 - 3/2 + C1 = C2 Simplificando, temos: -1/2 + C1 = C2 Agora, podemos reescrever a equação original substituindo C2 por -1/2 + C1: y^3 - 3y^2/2 + C1 = x + x^3 - 1/2 + C1 Essa é a solução geral do PVI. Para encontrar a solução específica, precisamos usar o valor inicial y(0) = 1 novamente. Substituindo x = 0 e y = 1 na equação, podemos encontrar o valor de C1: 1^3 - 3(1)^2/2 + C1 = 0 + 0^3 - 1/2 + C1 1 - 3/2 + C1 = -1/2 + C1 Simplificando, temos: -1/2 + C1 = -1/2 + C1 Isso significa que C1 pode ser qualquer valor. Portanto, a solução específica do PVI é: y^3 - 3y^2/2 + C1 = x + x^3 - 1/2 + C1 Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.