Resolver os P.V.I abaixo. a) xdx + ye^(-x)dy = 0, y(0) = 1; b) dr/dθ = r^2θ, r(1) = 2; c) y′ = 2xy+yx^2, y(0) = −2; d) y′ = xy^3(1 + x^2)^(-1/2), y...

Vamos resolver os problemas de valor inicial (P.V.I) apresentados: a) Para resolver a equação diferencial xdx + ye^(-x)dy = 0, com a condição inicial y(0) = 1, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Após a integração, encontramos a solução y(x) = e^(-x) + C, onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Substituindo a condição inicial, temos 1 = e^0 + C, o que implica em C = 1. Portanto, a solução do P.V.I é y(x) = e^(-x) + 1. b) A equação diferencial dr/dθ = r^2θ é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Após a integração, encontramos a solução r(θ) = -1/(θ^2 + C), onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Substituindo a condição inicial, temos 2 = -1/(1^2 + C), o que implica em C = -3/2. Portanto, a solução do P.V.I é r(θ) = -1/(θ^2 - 3/2). c) A equação diferencial y′ = 2xy + yx^2 é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolver essa equação utilizando o fator integrante e a técnica de integração por partes. Após a integração, encontramos a solução y(x) = -2x - x^2 + Ce^x, onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Substituindo a condição inicial, temos -2 = -2(0) - (0)^2 + Ce^0, o que implica em C = -2. Portanto, a solução do P.V.I é y(x) = -2x - x^2 - 2e^x. d) A equação diferencial y′ = xy^3(1 + x^2)^(-1/2) é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Após a integração, encontramos a solução y(x) = (1 + x^2)^(1/2) + C, onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Substituindo a condição inicial, temos 1 = (1 + (0)^2)^(1/2) + C, o que implica em C = 0. Portanto, a solução do P.V.I é y(x) = (1 + x^2)^(1/2). Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.