Seja y1 uma solução de y′ + p(x)y = 0 e seja y2 uma solução de y′ + p(x)y = g(x). Mostre que y = y1 + y2 é solução de y′ + p(x)y = g(x).

Para mostrar que y = y1 + y2 é solução da equação diferencial y' + p(x)y = g(x), precisamos verificar se ela satisfaz a equação. Primeiro, vamos calcular a derivada de y em relação a x. Como y = y1 + y2, podemos usar a regra da soma para derivar: y' = (y1 + y2)' A derivada da soma é a soma das derivadas individuais: y' = y1' + y2' Agora, substituindo y = y1 + y2 e y' = y1' + y2' na equação diferencial original, temos: (y1' + y2') + p(x)(y1 + y2) = g(x) Agora, vamos simplificar essa expressão: y1' + y2' + p(x)y1 + p(x)y2 = g(x) Agora, observe que y1 é uma solução de y' + p(x)y = 0, o que significa que y1' + p(x)y1 = 0. Portanto, podemos substituir y1' + p(x)y1 por 0: 0 + y2' + p(x)y2 = g(x) Simplificando ainda mais: y2' + p(x)y2 = g(x) Agora, observe que essa é exatamente a equação diferencial original y' + p(x)y = g(x). Portanto, concluímos que y = y1 + y2 é uma solução da equação diferencial y' + p(x)y = g(x). Espero que isso tenha ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.