Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
a) x...

Question

Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida.
a) xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1/2;
b) xy′ + y = ex, y(1) = 1;
c) y′ + (cotgx)y = 2cossecx, y(π/2) = 1;
d) xy′ + 2y = senx, y(π) = 1/π;
e) y′ + (cotgx)y = 4senx, y(−π/2) = 0;
f) x(2 + x)y′ + 2(1 + x)y = 1 + 3x2, y(−1) = 1;
g) y′ + y = 1/(1+x^2), y(0) = 0;
h) (1− x^2)y′ − xy = x(1− x^2), y(0) = 2.

Ed · Answer

Para resolver esses problemas de valor inicial, é necessário aplicar o método de resolução de equações diferenciais. Vou fornecer as soluções e os intervalos de validade para cada problema:

a) A solução para esse problema é y(x) = (x^2 - x + 1)/(3x). A solução é válida para todo x ≠ 0.

b) A solução para esse problema é y(x) = (e^x - 1)/(x^2). A solução é válida para todo x ≠ 0.

c) A solução para esse problema é y(x) = (2cos(x) - 1)/(sin(x)). A solução é válida para todo x ≠ π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

d) A solução para esse problema é y(x) = (sen(x) - xcos(x))/x. A solução é válida para todo x ≠ 0.

e) A solução para esse problema é y(x) = 4sen(x)/(cos(x) + 1). A solução é válida para todo x ≠ -π/2 + kπ, onde k é um número inteiro.

f) A solução para esse problema é y(x) = (3x^2 + 1)/(2 + x). A solução é válida para todo x ≠ -2.

g) A solução para esse problema é y(x) = arctan(x). A solução é válida para todo x.

h) A solução para esse problema é y(x) = 2x + 2/(1 - x^2). A solução é válida para todo x ≠ -1, 1.

Lembre-se de verificar as condições de validade das soluções, pois podem haver restrições adicionais.

Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o intervalo no qual a solução encontrada é válida. a) x...

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