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Universidade Federal do Piaúı
Departamento de Matemática
Professora: Liane Mendes Feitosa Soares
Lista 2-E.D.O - EE
2014.1
1. Seja y = φ(x) uma solução de y′ + p(x)y = 0. Mostre que y = cφ(x) também é solução desta
equação, para qualquer valor da constante c.
2. Seja y1 uma solução de y
′ + p(x)y = 0 e seja y2 uma solução de y
′ + p(x)y = g(x). Mostre que
y = y1 + y2 é solução de y
′ + p(x)y = g(x).
3. Achar a solução geral da equação diferencial
a) y′ + ( 1
x
)y = senx, x > 0; b) x2y′ + 3xy = senx
x
, x < 0;
c) y′ + (tgx)y = xsen(2x), −π
2
< x < π
2
; d) xy′ + 2y = ex, x > 0.
4. Nos problemas abaixo, achar a solução do problema de valor inicial proposto. Enunciar o
intervalo no qual a solução encontrada é válida.
a) xy′ + 2y = x2 − x+ 1, y(1) = 1
2
; b) xy′ + y = ex, y(1) = 1;;
c) y′ + (cotgx)y = 2cossecx, y(π
2
) = 1; d) xy′ + 2y = senx, y(π) = 1
π
;
e) y′ + (cotgx)y = 4senx, y(−π
2
) = 0; f) x(2 + x)y′ + 2(1 + x)y = 1 + 3x2, y(−1) = 1;
g) y′ + y = 1
1+x2
, y(0) = 0; h) (1− x2)y′ − xy = x(1− x2), y(0) = 2.
5. Nos problemas abaixo determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual se tenha
a certeza da existência da solução do P.V.I proposto.
a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x, y(1) = 2; b) y′ + (tgx)y = senx, y(π) = 0;
c) (4− x2)y′ + 2xy = 3x2, y(−3) = 1; d) (lnx)y′ + y = ctgx, y(2) = 3.
6. No problema de valor inicial y′− y = 2, y(0) = y0, determinar como o valor limite de y, quando
x→∞ depende de y0.
7. Mostrar que se a e λ forem constantes positivas e b um número real qualquer, então toda
solução da equação
y′ + ay = b.e−λx
tem a propriedade y → 0 quando x→∞.
8. Coeficientes Descont́ınuos
a) Resolver o P.V.I: y′ + 2y = g(x), y(0) = 0, onde
g(x) =
{
1, se 0 ≤ x ≤ 1,
0, se x > 1.
9. Resolver o P.V.I: y′ + p(x)y = 0, y(0) = 1, onde
p(x) =
{
2, se 0 ≤ x ≤ 1,
1, se x > 1.
10. (Equações de Bernuolli) São as equações do tipo y′ + p(x)y = q(x)yn. Vimos que a substi-
tuição v = y1−n reduz a equação de Bernoulli a uma equação linear. Resolva as equações de
Bernoulli abaixo:
a) x2y′ + 2xy − y3 = 0;
b) y′ = ry − ky2, r > 0, k > 0;
c) y′ = ay − by3, a > 0, b > 0.
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