(Equações de Bernuolli) São as equações do tipo y′ + p(x)y = q(x)yn. Vimos que a substi- tuição v = y1−n reduz a equação de Bernoulli a um...

Para resolver as equações de Bernoulli, podemos fazer a substituição v = y^(1-n). Vamos resolver cada uma das equações dadas: a) x^2y' + 2xy - y^3 = 0 Fazendo a substituição v = y^(-2), temos: v' = (1-n)y^(-n-1)y' = -2y^(-3)y' Substituindo na equação original, temos: x^2(-2y^(-3)y') + 2xy - y^3 = 0 -2x^2v' + 2xy - y^3 = 0 Dividindo toda a equação por -2x^2, temos: v' - (y/x)v = (y^3)/(2x^3) Agora, temos uma equação linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante ou o método da variação de parâmetros. b) y' = ry - ky^2, r > 0, k > 0 Fazendo a substituição v = y^(1-2) = y^(-1), temos: v' = (1-n)y^(-n-1)y' = -y^(-2)y' Substituindo na equação original, temos: (-y^(-2)y') = r(y^(-1)) - k(y^(-1))^2 -y' = ry - ky^2 Agora, temos uma equação linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante ou o método da variação de parâmetros. c) y' = ay - by^3, a > 0, b > 0 Fazendo a substituição v = y^(1-3) = y^(-2), temos: v' = (1-n)y^(-n-1)y' = -2y^(-3)y' Substituindo na equação original, temos: (-2y^(-3)y') = a(y^(-2)) - b(y^(-2))^3 -2y' = ay - b(y^(-2)) Agora, temos uma equação linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante ou o método da variação de parâmetros. Espero que isso ajude! Se você tiver alguma dúvida adicional, é só perguntar.