Mostrar que as equações abaixo não são exatas mas se tornam exatas quando multiplicadas, cada qual, pelo fator integrante mencionado. a) x2y3 +...

Para mostrar que as equações não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator integrante mencionado, é necessário verificar se a condição de exatidão é satisfeita. A condição de exatidão é dada pela igualdade das derivadas parciais em relação a y da função que multiplica dx e em relação a x da função que multiplica dy. a) A equação é x^2y^3 + x(1 + y^2)y' = 0 e o fator integrante é µ(x, y) = xy^3. Para verificar se a equação se torna exata, calculamos as derivadas parciais em relação a y de µ(x, y) e em relação a x de x^2y^3 + x(1 + y^2). Se as derivadas parciais forem iguais, a equação se torna exata. b) A equação é (sen y/y - 2e^(-x)sen x)dx + (cos y + 2e^(-x)cos x)ydy = 0 e o fator integrante é µ(x, y) = yex. Novamente, calculamos as derivadas parciais em relação a y de µ(x, y) e em relação a x da função que multiplica dy. c) A equação é ydx + (2x - yey)dy = 0 e o fator integrante é µ(x, y) = y. Calculamos as derivadas parciais em relação a y de µ(x, y) e em relação a x da função que multiplica dy. d) A equação é (x + 2)sen ydx + xcos ydy = 0 e o fator integrante é µ(x, y) = xex. Calculamos as derivadas parciais em relação a y de µ(x, y) e em relação a x da função que multiplica dy. Após calcular as derivadas parciais e verificar se são iguais, podemos concluir se as equações se tornam exatas quando multiplicadas pelos fatores integrantes mencionados.