9) Usando a abordagem dada em sala sobre as Equações de Bernoulli e Riccati, encontre as soluções das equações diferenciais.
a) xdy/dx + y = ...

Question

9) Usando a abordagem dada em sala sobre as Equações de Bernoulli e Riccati, encontre as soluções das equações diferenciais.
a) xdy/dx + y = 1/y2; b) dy/dx = y(xy3 − 1);
c) x2dy/dx + y2 = xy; d) x2dy/dx − 2xy = 3y4, y(1) = 1/2;
e) y1/2dy/dx + y3/2 = 1, y(0) = 4; f) 2dy/dx = y/x − x/y2, y(1) = 1;
g) dy/dx = −2− y + y2, y1 = 2; h) dy/dx = − 4/x2 − 1/x y + y2, y1 = 2/x;
i) dy/dx = e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex;

As afirmativas são questões de matemática que não podem ser extraídas do enunciado.

Ed · Answer

Para resolver a equação diferencial dada em a), primeiro é necessário transformá-la em uma equação de Bernoulli. Para isso, divide-se ambos os lados da equação por y², obtendo:

xdy/dx * 1/y² + y/y² = 1/y³

Em seguida, faz-se a substituição y⁻¹ = z, e calcula-se dy/dx em termos de z:

dy/dx = dz/dx * (-1/z²)

Substituindo na equação anterior, temos:

-x/z² + z/x = 1/y³

Multiplicando ambos os lados por -x³z², obtemos:

x^2 dz/dx - 1/x * z = -x

Esta é uma equação de Riccati, que pode ser resolvida fazendo-se a substituição z = v + 1/x. Substituindo na equação anterior, temos:

x^2 dv/dx = -x

Integrando ambos os lados, obtemos:

v = ln|x| + C

Substituindo z = v + 1/x, temos:

z = ln|x| + 1/x + C

Substituindo y⁻¹ = z, temos:

y = 1/(ln|x| + 1/x + C)

Portanto, a solução da equação diferencial é:

y = 1/(ln|x| + 1/x + C)

9) Usando a abordagem dada em sala sobre as Equações de Bernoulli e Riccati, encontre as soluções das equações diferenciais. a) xdy/dx + y = ...

Edo Calculo III

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Lista de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Edo Calculo III • Universidade Estadual do MaranhãoUniversidade Estadual do Maranhão

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