Problema 1 Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções: a) f(x, y) = 4xy2 − 2x2y − x b) f(x, y) = x sen y c) f(x, y) = xy − x3 −...

Vamos analisar a natureza dos pontos críticos das funções fornecidas: a) f(x, y) = 4xy^2 − 2x^2y − x Para encontrar os pontos críticos, devemos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero: ∂f/∂x = 4y^2 - 4xy - 1 = 0 ∂f/∂y = 8xy - 2x^2 = 0 Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os pontos críticos. Para analisar a natureza desses pontos, precisamos calcular a matriz Hessiana e verificar seus autovalores. b) f(x, y) = x sen y Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = sen y = 0 ∂f/∂y = x cos y = 0 c) f(x, y) = xy − x^3 − y^2 Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = y - 3x^2 = 0 ∂f/∂y = x - 2y = 0 d) f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + 1/x + 1/y Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = 2x + y - 1/x^2 = 0 ∂f/∂y = x + 2y - 1/y^2 = 0 e) f(x, y) = 4y^2e^-(x^2+y^2) Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais em relação a x e y e igualamos a zero: ∂f/∂x = -8xye^-(x^2+y^2) = 0 ∂f/∂y = 8y(2y^2-1)e^-(x^2+y^2) = 0 Após encontrar os pontos críticos, podemos utilizar a matriz Hessiana para analisar a natureza desses pontos.