4. Calcule a integral dupla∫∫ R (y+ x/y^2) dA, onde R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.

Para calcular a integral dupla ∫∫R (y + x/y^2) dA, onde R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}, podemos seguir os seguintes passos: 1. Primeiro, vamos escrever a integral na forma correta: ∫∫R (y + x/y^2) dA = ∫∫R y dA + ∫∫R (x/y^2) dA 2. Agora, vamos calcular cada uma das integrais separadamente: ∫∫R y dA = ∫[0,2]∫[1,2] y dy dx = ∫[0,2] (y^2/2)∣∣[1,2] dx = ∫[0,2] (4/2 - 1/2) dx = ∫[0,2] (3/2) dx = (3/2)∫[0,2] dx = (3/2)(x)∣∣[0,2] = (3/2)(2 - 0) = 3 ∫∫R (x/y^2) dA = ∫[0,2]∫[1,2] (x/y^2) dy dx = ∫[0,2] (x/y)∣∣[1,2] dx = ∫[0,2] (2x - x) dx = ∫[0,2] (x) dx = (1/2)x^2∣∣[0,2] = (1/2)(4 - 0) = 2 3. Agora, somamos os resultados das duas integrais: ∫∫R (y + x/y^2) dA = ∫∫R y dA + ∫∫R (x/y^2) dA = 3 + 2 = 5 Portanto, o valor da integral dupla é 5.