Questão 5 [1,5 pt] Sejam A ∈ Mn(R) e B ∈ Mn(R) tais que det(A) = −3 e det(B) = 2. Usando propriedades de determinantes, calcule: (a). det(3A), (b)...

Vamos calcular cada uma das alternativas utilizando as propriedades dos determinantes: (a) det(3A): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante de um múltiplo escalar de uma matriz é igual ao múltiplo escalar do determinante da matriz original. Portanto, temos: det(3A) = 3^n * det(A) = 3^n * (-3) = -3^n+1, onde n é a ordem da matriz A. (b) det(-A): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante de uma matriz multiplicada por -1 é igual ao negativo do determinante da matriz original. Portanto, temos: det(-A) = (-1)^n * det(A) = (-1)^n * (-3) = (-1)^(n+1) * 3, onde n é a ordem da matriz A. (c) det(AB): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Portanto, temos: det(AB) = det(A) * det(B) = (-3) * 2 = -6. (d) det((AB)T): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Portanto, temos: det((AB)T) = det(AB). (e) det((AB)^-1): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante da inversa de uma matriz é igual ao inverso do determinante da matriz original. Portanto, temos: det((AB)^-1) = 1/det(AB) = 1/(-6) = -1/6. (f) det(A^-1B): Podemos utilizar a propriedade de que o determinante do produto de uma matriz inversa por outra matriz é igual ao produto dos determinantes das matrizes individuais. Portanto, temos: det(A^-1B) = det(A^-1) * det(B) = 1/det(A) * 2 = 1/(-3) * 2 = -2/3. Espero ter ajudado!