C10. Utilize a regra da cadeia para provar as afirmações abaixo. (a) A derivada de uma função par diferenciável é uma função ı́mpar. (b) A ...

Vamos utilizar a regra da cadeia para provar as afirmações: (a) A derivada de uma função par diferenciável é uma função ímpar. Seja f(x) uma função par diferenciável. Isso significa que f(-x) = f(x) para todo x no domínio de f. Vamos calcular a derivada de f(-x): f'(-x) = lim(h->0) [f(-x - h) - f(-x)] / h Agora, vamos fazer uma substituição: y = -x - h. Isso implica em x = -y - h. Portanto, podemos reescrever a derivada como: f'(-x) = lim(h->0) [f(y) - f(-y - h)] / h Agora, vamos fazer uma mudança de variável: k = -y - h. Isso implica em y = -k - h. Portanto, podemos reescrever a derivada como: f'(-x) = lim(h->0) [f(-k - h) - f(-k)] / h Agora, vamos fazer uma substituição inversa: x = -k. Isso implica em k = -x. Portanto, podemos reescrever a derivada como: f'(-x) = lim(h->0) [f(x - h) - f(x)] / h Comparando essa expressão com a definição de derivada, podemos concluir que f'(-x) = -f'(x). Ou seja, a derivada de uma função par diferenciável é uma função ímpar. (b) A derivada de uma função ímpar diferenciável é uma função par. Seja g(x) uma função ímpar diferenciável. Isso significa que g(-x) = -g(x) para todo x no domínio de g. Vamos calcular a derivada de g(-x): g'(-x) = lim(h->0) [g(-x - h) - g(-x)] / h Agora, vamos fazer uma substituição: y = -x - h. Isso implica em x = -y - h. Portanto, podemos reescrever a derivada como: g'(-x) = lim(h->0) [g(y) - g(-y - h)] / h Agora, vamos fazer uma mudança de variável: k = -y - h. Isso implica em y = -k - h. Portanto, podemos reescrever a derivada como: g'(-x) = lim(h->0) [g(-k - h) - g(-k)] / h Agora, vamos fazer uma substituição inversa: x = -k. Isso implica em k = -x. Portanto, podemos reescrever a derivada como: g'(-x) = lim(h->0) [g(x + h) - g(x)] / h Comparando essa expressão com a definição de derivada, podemos concluir que g'(-x) = g'(x). Ou seja, a derivada de uma função ímpar diferenciável é uma função par. Portanto, utilizando a regra da cadeia, provamos as afirmações (a) e (b).