P6. Seja y = f(x) uma função diferenciável tal que, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f(x)) é solução da equação xy3 + 2xy2 + x = 4. Sabendo q...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a regra da cadeia para derivar a função implícita. Primeiro, vamos derivar a equação em relação a x: d(xy^3 + 2xy^2 + x)/dx = d(4)/dx Aplicando a regra da cadeia, temos: y^3 + 3xy^2(dy/dx) + 2y^2 + 4xy(dy/dx) + 1 = 0 Agora, vamos substituir x = 1 e f(1) = 1 na equação acima: 1^3 + 3(1)(1)^2(dy/dx) + 2(1)^2 + 4(1)(1)(dy/dx) + 1 = 0 1 + 3(dy/dx) + 2 + 4(dy/dx) + 1 = 0 8(dy/dx) + 4 = 0 8(dy/dx) = -4 (dy/dx) = -4/8 (dy/dx) = -1/2 Portanto, f'(1) = -1/2.