Questão 2. (2.0 pontos) (a) Seja y uma função diferenciável em relação a x tal que x2/3 + y1/3 = 1. Calcule y′. (b) Determine f ′(x) se f(x...

Questão 2. (2.0 pontos)

(a) Seja y uma função diferenciável em relação a x tal que x2/3 + y1/3 = 1. Calcule y′.

(b) Determine f ′(x) se f(x) = ex2ln(1 + √x).

Solução: (a) Derivando implicitamente ambos os lados da igualdade x2/3+y1/3 = 1, em relação
a x, e usando a regra da cadeia, obtemos

2
3
x−1/3 +
1
3
y−2/3y′ = 0 =⇒ y−2/3y′ = −2x−1/3 =⇒ y′ = −2x−1/3

y−2/3
.

(b) Usando as regras do produto e da cadeia,

f ′(x) = (ex2)′ ln(1 + √x) + ex2(ln(1 + √x))′

= 2xex2ln(1 + √x) + ex2 1
1 + √x

(1 + √x)′

= 2xex2ln(1 + √x) + ex2 1
2√x.


(a) Seja y uma função diferenciável em relação a x tal que x2/3 + y1/3 = 1. Calcule y′.
(b) Determine f ′(x) se f(x) = ex2ln(1 + √x).
x2/3 + y1/3 = 1.
y′ = −2x−1/3y−2/3.
f ′(x) = 2xex2ln(1 + √x) + ex2 1
2√x.