P5. Determine uma reta que seja paralela à reta y = −x+ 1 e que seja tangente à curva x2 + xy + y2 = 3.

Para determinar uma reta paralela à reta y = -x + 1, precisamos encontrar uma reta com a mesma inclinação. A inclinação da reta y = -x + 1 é -1. Agora, para encontrar uma reta que seja tangente à curva x^2 + xy + y^2 = 3, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos denotar a reta como y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear. Agora, vamos derivar a equação da curva em relação a x e y: d/dx (x^2 + xy + y^2) = d/dx (3) 2x + y + x(dy/dx) + y + 2y(dy/dx) = 0 Agora, vamos substituir y = mx + b na equação acima: 2x + (mx + b) + x(dy/dx) + (mx + b) + 2(mx + b)(dy/dx) = 0 Simplificando a equação, temos: (2 + m + 2m(dy/dx))x + (b + b + m(dy/dx)) = 0 Para que a reta seja tangente à curva, a equação acima deve ser verdadeira para todos os valores de x. Isso implica que os coeficientes de x e o termo constante devem ser iguais a zero: 2 + m + 2m(dy/dx) = 0 b + b + m(dy/dx) = 0 Agora, podemos resolver essas duas equações simultaneamente para encontrar os valores de m e b. Substituindo a primeira equação na segunda, temos: b + b + m(dy/dx) = 0 2m(dy/dx) = -2 Simplificando, temos: 2b = -m(dy/dx) 2m(dy/dx) = -2 Agora, substituindo a inclinação da reta paralela (-1) na primeira equação, temos: 2b = -(-1)(dy/dx) 2b = dy/dx Agora, substituindo a segunda equação na primeira, temos: 2(-2) = -2(dy/dx) -4 = -2(dy/dx) dy/dx = 2 Agora, substituindo dy/dx = 2 na equação 2b = dy/dx, temos: 2b = 2 b = 1 Portanto, a reta que é paralela à reta y = -x + 1 e tangente à curva x^2 + xy + y^2 = 3 é dada por y = -x + 1.