5. (a) Encontre a equação da reta tangente à curva x2(x2−9) = y2(y2−1) no ponto (−3, 1). (b) Existe algum ponto da curva y = (lnx)3 onde a segun...

(a) Para encontrar a equação da reta tangente à curva x²(x²-9) = y²(y²-1) no ponto (-3,1), precisamos encontrar a derivada da curva e avaliá-la no ponto dado. Derivando implicitamente a equação da curva, temos: 2x(x²-9) + 4x²(x²-9) - 2y²(y²-1)dy/dx = 2y(y²-1)dy/dx + 4y²(y²-1)dy/dx Simplificando e isolando dy/dx, temos: dy/dx = (2x(x²-9) + 4x²(x²-9)) / (2y(y²-1) + 4y²(y²-1)) Avaliando a derivada no ponto (-3,1), temos: dy/dx = (2*(-3)(9) + 4*(-3)²(9)) / (2*1(1-1) + 4*1²(1-1)) = -54/0 (indeterminação) Como a derivada não existe no ponto (-3,1), não podemos encontrar a equação da reta tangente nesse ponto. (b) Para identificar se existe algum ponto na curva y = (lnx)³ onde a segunda derivada vale zero, precisamos encontrar a segunda derivada da curva e igualá-la a zero. Derivando implicitamente a equação da curva, temos: y = (lnx)³ dy/dx = 3(lnx)²(1/x) = 3ln²x/x d²y/dx² = (d/dx)(3ln²x/x) = (3/x)(2lnx(1/x) - ln²x) = (6lnx - 3ln²x)/x³ Igualando a segunda derivada a zero, temos: 6lnx - 3ln²x = 0 lnx(6 - 3lnx) = 0 Portanto, temos dois pontos onde a segunda derivada é igual a zero: x = 1 e x = e²/3. Para encontrar as coordenadas y correspondentes, basta substituir esses valores de x na equação y = (lnx)³.