Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3 contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função f(x,y...

A integral de linha da função f(x, y) = 2x - y sobre a curva C pode ser calculada utilizando a parametrização C(t) = (3cos(t), 3sen(t)), onde t varia de 0 a π/2. Para calcular a integral de linha, é necessário calcular a integral da função f(x, y) ao longo da curva C. Substituindo as coordenadas da parametrização na função, temos: f(x(t), y(t)) = 2(3cos(t)) - (3sen(t)) = 6cos(t) - 3sen(t) Agora, podemos calcular a integral de linha: ∫[C] f(x, y) ds = ∫[0, π/2] (6cos(t) - 3sen(t)) √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt Para calcular as derivadas dx/dt e dy/dt, derivamos as coordenadas da parametrização em relação a t: dx/dt = -3sen(t) dy/dt = 3cos(t) Substituindo esses valores na integral de linha, temos: ∫[C] f(x, y) ds = ∫[0, π/2] (6cos(t) - 3sen(t)) √[(-3sen(t))² + (3cos(t))²] dt Simplificando a expressão dentro da raiz, temos: ∫[C] f(x, y) ds = ∫[0, π/2] (6cos(t) - 3sen(t)) √[9sen²(t) + 9cos²(t)] dt Como 9sen²(t) + 9cos²(t) = 9, podemos simplificar ainda mais: ∫[C] f(x, y) ds = ∫[0, π/2] (6cos(t) - 3sen(t)) √9 dt ∫[C] f(x, y) ds = ∫[0, π/2] (6cos(t) - 3sen(t)) 3 dt ∫[C] f(x, y) ds = 3∫[0, π/2] (2cos(t) - sen(t)) dt Agora, podemos calcular a integral definida: ∫[C] f(x, y) ds = 3[2sen(t) + cos(t)]|[0, π/2] Substituindo os limites de integração, temos: ∫[C] f(x, y) ds = 3[(2sen(π/2) + cos(π/2)) - (2sen(0) + cos(0))] ∫[C] f(x, y) ds = 3[(2*1 + 0) - (0 + 1)] ∫[C] f(x, y) ds = 3[2 - 1] ∫[C] f(x, y) ds = 3 Portanto, a integral de linha da função f(x, y) = 2x - y sobre a curva C é igual a 3. A alternativa correta é A) 3.