Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3 contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função = 2x ...

Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3 contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função = 2x - - y sobre a curva C parametrizada por C(t) = {3 3 cos(t) para 0

A) 2
B) 6
C) 9
D) 0

Cálculo III

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Aprendendo com Exercícios

25/10/2023

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Funcao Escalar Linha

Cálculo III • Colegio UnificadoColegio Unificado

Felipe Lima

Respostas

25.10.2023

Para calcular a integral de linha da função f(x,y) = 2x - y sobre a curva C parametrizada por C(t) = (3cos(t), 3sen(t)), 0 <= t <= pi/2, podemos utilizar a definição da integral de linha: ∫(C) f(x,y) ds = ∫(0 to pi/2) f(C(t)) ||C'(t)|| dt Onde ||C'(t)|| é o módulo do vetor tangente à curva C no ponto C(t). Calculando C'(t), temos: C'(t) = (-3sen(t), 3cos(t)) ||C'(t)|| = sqrt((-3sen(t))^2 + (3cos(t))^2) = 3 Substituindo na fórmula da integral de linha, temos: ∫(C) f(x,y) ds = ∫(0 to pi/2) (2*3cos(t) - 3sen(t)) * 3 dt ∫(C) f(x,y) ds = 9 ∫(0 to pi/2) (2cos(t) - sen(t)) dt ∫(C) f(x,y) ds = 9 [2sen(t) + 2cos(t)](0 to pi/2) ∫(C) f(x,y) ds = 9 [2 - 1] = 9 Portanto, a alternativa correta é a letra C) 9.