Assinale a alternativa que contenha a derivada de f(x,y) = xey + cos⁡(xy), no ponto P(2,0) e na direção do vetor v= (3i-4j)

Para encontrar a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto P(2, 0) e na direção do vetor v = 3i - 4j, podemos usar o conceito de gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função em um determinado ponto. Para encontrar a derivada direcional, podemos usar a fórmula: Dv(f) = ∇f · v Onde ∇f é o gradiente de f e · representa o produto escalar. Primeiro, vamos calcular o gradiente de f(x, y): ∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = ey + ysen(xy) ∂f/∂y = xey - xsen(xy) Agora, vamos calcular o gradiente no ponto P(2, 0): ∇f(2, 0) = (e^0 + 0) i + (2e^0 - 2sen(0)) j = i + 2j Agora, vamos calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor v: Dv(f) = ∇f(2, 0) · v = (i + 2j) · (3i - 4j) = 3 + (-8) = -5 Portanto, a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto P(2, 0) e na direção do vetor v = 3i - 4j é -5.