Assinale a alternativa que contenha a derivada de f(x,y) = xey + cos(xy), no ponto P(2,0) e na direção do vetor v = (3i – 4j). A - 1 B - 0 C - -1

Para encontrar a derivada de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto P(2, 0) e na direção do vetor v = (3i - 4j), podemos usar o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função em um determinado ponto. Primeiro, calculamos o gradiente de f(x, y): ∇f(x, y) = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = ey + ysen(xy) ∂f/∂y = xey - xsen(xy) Agora, substituímos as coordenadas do ponto P(2, 0) na derivada parcial: ∂f/∂x (2, 0) = e(0) + 0sen(2*0) = 1 ∂f/∂y (2, 0) = 2e(0) - 2sen(2*0) = 2 Portanto, o gradiente de f(x, y) no ponto P(2, 0) é ∇f(2, 0) = 1i + 2j. Agora, calculamos a projeção do vetor v = (3i - 4j) na direção do gradiente ∇f(2, 0): projv∇f(2, 0) = (v · ∇f(2, 0)) / ||∇f(2, 0)||^2 * ∇f(2, 0) Onde · representa o produto escalar e || || representa a norma do vetor. Calculando o produto escalar: v · ∇f(2, 0) = (3i - 4j) · (1i + 2j) = 3*1 + (-4)*2 = -5 Calculando a norma do vetor ∇f(2, 0): ||∇f(2, 0)|| = √(1^2 + 2^2) = √5 Substituindo esses valores na fórmula da projeção: projv∇f(2, 0) = (-5) / (√5)^2 * (1i + 2j) = (-5/5) * (1i + 2j) = -1i - 2j Portanto, a alternativa correta é C) -1.