uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriorm...

Para determinar o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico de f(x) = -x^2 - 1 no intervalo [0, 1] em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos discos ou o método das cascas cilíndricas. Usando o método dos discos, dividimos a região em infinitos discos de raio r e espessura infinitesimal dx. O raio r é dado pela função f(x). Portanto, o volume de cada disco é dado por π * (f(x))^2 * dx. Integrando essa expressão no intervalo [0, 1], temos: V = ∫[0,1] π * (f(x))^2 dx V = ∫[0,1] π * (-x^2 - 1)^2 dx V = ∫[0,1] π * (x^4 + 2x^2 + 1) dx V = π * (∫[0,1] x^4 dx + ∫[0,1] 2x^2 dx + ∫[0,1] 1 dx) V = π * (1/5 * x^5 + 2/3 * x^3 + x) |[0,1] V = π * (1/5 * 1^5 + 2/3 * 1^3 + 1) - π * (1/5 * 0^5 + 2/3 * 0^3 + 0) V = π * (1/5 + 2/3 + 1) V = π * (15/15 + 10/15 + 15/15) V = π * (40/15) V = (8/3)π Portanto, o volume do sólido gerado pela revolução da região sob o gráfico de f(x) = -x^2 - 1 no intervalo [0, 1] em torno do eixo x é igual a (8/3)π.