Para calcular o volume de uma região tridimensional utilizando integrais triplas, é necessário definir os limites de integração para cada variável. No caso da caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], os limites de integração são dados pelos intervalos de cada coordenada: x variando de 0 a 2, y variando de -3 a 0, e z variando de -1 a 1. A fórmula para o cálculo do volume V de uma região tridimensional é dada pela integral tripla da função 1 em relação a essa região, ou seja, V = ∭E dV. Calculando a integral tripla para a caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], temos: V = ∭E dV = ∫[0,2] ∫[-3,0] ∫[-1,1] dz dy dx. Integrando em relação a z, obtemos z|[-1,1] = 1 - (-1) = 2. Integrando em relação a y, obtemos 2y|[-3,0] = 2(0) - 2(-3) = 6. Integrando em relação a x, obtemos 6x|[0,2] = 6(2) - 6(0) = 12. Portanto, o volume da região é 12 unidades de volume (u.v). Assim, a alternativa correta é: E) 12 u.v.

Para calcular o volume da região tridimensional representada pela caixa retangular E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], podemos usar a fórmula da integral tripla. A fórmula do volume V de uma região E é dada por: V = ∫∫∫ 1 dV Onde a integral tripla é realizada sobre a região E e 1 representa a função constante igual a 1. Calculando a integral tripla para a região E = [0,2] x [-3,0] x [-1,1], obtemos: V = ∫[0,2] ∫[-3,0] ∫[-1,1] 1 dz dy dx V = ∫[0,2] ∫[-3,0] [z] [-1,1] dy dx V = ∫[0,2] [z] [-3,0] dx V = [z] [-1,1] dx V = [x] [0,2] V = 2 - 0 V = 2 u.v. Portanto, a alternativa correta é: A) 4 u.v.