O cálculo de áreas entre funções utilizando integral é uma técnica usada na matemática para determinar a área de uma região que é limitada por duas...

Para calcular a área delimitada entre as curvas, podemos utilizar o método da integral definida. Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para determinar os limites de integração. As curvas são: y = 1 - x^2, y = 1 + x^2, y = -3x^2 + 2 e x = 1. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as equações: 1 - x^2 = 1 + x^2 -2x^2 = 0 x = 0 1 - x^2 = -3x^2 + 2 2x^2 - 3x^2 = 1 - 2 -x^2 = -1 x^2 = 1 x = ±1 Agora, vamos determinar os limites de integração. A curva y = 1 - x^2 está acima das outras curvas no intervalo [-1, 0]. A curva y = 1 + x^2 está acima das outras curvas no intervalo [0, 1]. Portanto, os limites de integração são -1 e 1. Agora, podemos calcular a área utilizando a integral definida: A = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx Onde f(x) é a curva superior e g(x) é a curva inferior. A = ∫[-1, 0] (1 - x^2 - (1 + x^2)) dx + ∫[0, 1] (1 + x^2 - (1 - x^2)) dx Simplificando, temos: A = ∫[-1, 0] (-2x^2) dx + ∫[0, 1] (4x^2) dx A = [-2/3x^3] [-1, 0] + [4/3x^3] [0, 1] A = (-2/3(0)^3 - (-2/3(-1)^3)) + (4/3(1)^3 - 4/3(0)^3) A = (-2/3(0) + 2/3) + (4/3 - 0) A = 2/3 + 4/3 A = 6/3 A = 2 Portanto, a área delimitada entre as curvas é igual a 2.