rabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é, muitas vezes muito complicado. Uma alternativa é utilizar matrizes para representar...

1) Para encontrar a matriz "M" da transformação linear (T.L.), basta escrever os coeficientes das variáveis x e y nas colunas da matriz. No caso da T.L. T(x, y) = (2x + 3y, 3x + 2y), a matriz "M" será: M = | 2 3 | | 3 2 | 2) Para encontrar os autovalores e autovetores da T.L., precisamos resolver a equação característica. A equação característica é dada por |M - λI| = 0, onde λ é o autovalor e I é a matriz identidade. Calculando |M - λI| = 0, temos: | 2-λ 3 | | 3 2-λ | (2-λ)(2-λ) - 3*3 = 0 (λ-4)(λ-0) = 0 Portanto, os autovalores são λ1 = 4 e λ2 = 0. Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada autovalor na matriz (M - λI) e resolvemos o sistema homogêneo (M - λI)v = 0. Para λ1 = 4: | -2 3 | | x | | 0 | | 3 -2 | | y | = | 0 | Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v1 = (1, 1). Para λ2 = 0: | 2 3 | | x | | 0 | | 3 2 | | y | = | 0 | Resolvendo o sistema, encontramos o autovetor v2 = (-1, 1). 3) Para calcular M^10, podemos usar a diagonalização de matrizes. Se M é diagonalizável, podemos escrever M = PDP^(-1), onde D é uma matriz diagonal e P é uma matriz formada pelos autovetores de M. D = | 4 0 | | 0 0 | P = | 1 -1 | | 1 1 | P^(-1) = | 0.5 0.5 | | -0.5 0.5 | Então, temos: M^10 = (PDP^(-1))^10 = PD^10P^(-1) Calculando D^10, temos: D^10 = | 4^10 0 | | 0 0^10 | D^10 = | 1048576 0 | | 0 0 | Substituindo na fórmula, temos: M^10 = PDP^(-1) = | 1 -1 | | 1048576 0 | | 0.5 0.5 | | 1 1 | | -0.5 0.5 | Calculando o produto das matrizes, encontramos: M^10 = | 524288 524288 | | 524288 524288 | Portanto, M^10 = | 524288 524288 | | 524288 524288 |.