Prove que uma EDO autônoma unidimensional de primeira ordem não admite soluções periódicas não-constantes.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) autônoma unidimensional de primeira ordem é uma equação da forma dy/dx = f(y), onde f é uma função que depende apenas de y. Para provar que essa equação não admite soluções periódicas não constantes, podemos utilizar o método do contraditório. Suponha que exista uma solução periódica não constante y(x) para a EDO. Isso significa que existe um período T tal que y(x + T) = y(x) para todo x. Agora, vamos considerar a derivada da solução y(x) em relação a x. Temos: dy/dx = f(y) Derivando ambos os lados em relação a x + T, obtemos: d/dx (y(x + T)) = d/dx (y(x)) Aplicando a regra da cadeia, temos: dy/dx + dy/dx * dT/dx = dy/dx Simplificando, obtemos: dy/dx * dT/dx = 0 Agora, como estamos supondo que y(x) é uma solução periódica não constante, temos que dy/dx ≠ 0 para todo x. Portanto, a única maneira de a igualdade acima ser verdadeira é se dT/dx = 0. Isso significa que o período T é constante, ou seja, não depende de x. No entanto, isso contradiz nossa suposição inicial de que y(x) é uma solução periódica não constante. Portanto, chegamos a uma contradição, o que implica que a EDO autônoma unidimensional de primeira ordem não admite soluções periódicas não constantes.