Dê um exemplo de um problema de Cauchy: (a) Que admite mais de uma solução; (b) Cuja solução não pode ser estendida para todo t ∈ R.

Claro! Vou te dar exemplos de problemas de Cauchy que atendem às duas condições: (a) Um exemplo de problema de Cauchy que admite mais de uma solução é a equação diferencial y' = √(y), com a condição inicial y(0) = 0. Neste caso, tanto a função y = 0 quanto a função y = (x^2)/4 são soluções válidas. (b) Um exemplo de problema de Cauchy cuja solução não pode ser estendida para todo t ∈ R é a equação diferencial y' = 1/(1 - y^2), com a condição inicial y(0) = 1. A solução desta equação é a função y = tan(t), mas ela não pode ser estendida para valores de t onde cos(t) = 0, ou seja, nos pontos t = (π/2) + kπ, onde k é um número inteiro. Portanto, a solução não pode ser estendida para todo t ∈ R.