Defina fn : R→ R pela regra fn(x) = x 1 + nx2 , n = 1, 2, . . . Mostre que (fn)n∈N converge uniformemente para uma função f : R→ R e que a relaç...

Para mostrar que a sequência de funções (fn)n∈N converge uniformemente para uma função f : R→ R, podemos utilizar o critério de Cauchy. Primeiro, vamos calcular a derivada de fn(x): fn(x) = x / (1 + nx^2) Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos: fn'(x) = (1 + nx^2) * 1 - x * 2nx / (1 + nx^2)^2 = (1 + nx^2 - 2nx^2) / (1 + nx^2)^2 = (1 - nx^2) / (1 + nx^2)^2 Agora, vamos analisar a convergência uniforme da sequência (fn)n∈N. Para isso, vamos utilizar o critério de Cauchy: Dada uma tolerância ε > 0, precisamos encontrar um número natural N tal que, para todo n, m ≥ N e para todo x ∈ R, temos |fn(x) - fm(x)| < ε. Vamos considerar n > m: |fn(x) - fm(x)| = |(1 - nx^2) / (1 + nx^2)^2 - (1 - mx^2) / (1 + mx^2)^2| Podemos simplificar essa expressão: |fn(x) - fm(x)| = |(1 - nx^2)(1 + mx^2)^2 - (1 - mx^2)(1 + nx^2)^2| / [(1 + nx^2)^2 * (1 + mx^2)^2] Agora, vamos encontrar um valor máximo para essa expressão: |(1 - nx^2)(1 + mx^2)^2 - (1 - mx^2)(1 + nx^2)^2| ≤ (1 + nx^2)^2 * (1 + mx^2)^2 Podemos observar que essa expressão é limitada por uma constante M, que não depende de n, m ou x. Portanto, temos que |fn(x) - fm(x)| ≤ M / [(1 + nx^2)^2 * (1 + mx^2)^2] Agora, vamos escolher N de forma que M / [(1 + nx^2)^2 * (1 + mx^2)^2] < ε para todo n, m ≥ N. Dessa forma, podemos concluir que a sequência de funções (fn)n∈N converge uniformemente para uma função f : R→ R. Quanto à relação f ′(x) = lim (n→∞) f ′n(x), ela é válida para x ≠ 0, pois a derivada de fn(x) converge para a derivada de f(x) quando n tende ao infinito. No entanto, para x = 0, essa relação não é válida, pois a derivada de fn(x) não converge para a derivada de f(x) quando n tende ao infinito.