Definição. Uma sequência de funções fn : X → R, n ∈ N, é uniformemente limitada se existe C > 0 tal que |fn(x)| ≤ C para x ∈ X e n ∈ N. Mostr...

Para mostrar que uma sequência de funções limitadas que converge uniformemente é uniformemente limitada, podemos usar a definição de convergência uniforme e a propriedade de limitação das funções. Seja {fn} uma sequência de funções limitadas que converge uniformemente para uma função f. Isso significa que, para qualquer ε > 0, existe um número natural N tal que |fn(x) - f(x)| < ε para todo x em X, sempre que n ≥ N. Agora, vamos considerar a limitação das funções fn. Pela definição de limitação, existe um número real C > 0 tal que |fn(x)| ≤ C para todo x em X e n em N. Vamos escolher um ε > 0 arbitrário. Como {fn} converge uniformemente para f, podemos escolher um número natural N de forma que |fn(x) - f(x)| < ε/2 para todo x em X, sempre que n ≥ N. Agora, vamos considerar a função g definida como g(x) = |f(x)| + ε/2 para todo x em X. Note que g(x) é uma função limitada, pois |f(x)| é limitada e ε/2 é um número real fixo. Vamos mostrar que existe um número real C' > 0 tal que |fn(x)| ≤ C' para todo x em X e n em N. Para isso, vamos considerar dois casos: 1) Para n < N, como {fn} é uma sequência de funções limitadas, existe um número real Cn > 0 tal que |fn(x)| ≤ Cn para todo x em X. Podemos escolher C' = max{C1, C2, ..., CN-1}. 2) Para n ≥ N, temos |fn(x) - f(x)| < ε/2 para todo x em X. Portanto, |fn(x)| ≤ |f(x)| + ε/2 = g(x) para todo x em X. Como g(x) é limitada, existe um número real C' > 0 tal que |fn(x)| ≤ C' para todo x em X e n em N. Assim, em ambos os casos, encontramos um número real C' > 0 que limita as funções fn para todo x em X e n em N. Portanto, uma sequência de funções limitadas que converge uniformemente é uniformemente limitada.