De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre o teorema de Green, calcule a integral do campo vetorial F=(y−ex^2, 2x − ey^2) e a curv...

Para calcular a integral do campo vetorial F ao longo da curva C, podemos aplicar o Teorema de Green. Primeiro, vamos verificar se a curva C é uma curva fechada simples. A equação x^2 + y^2 = 1 representa um círculo de raio 1 centrado na origem. Portanto, a curva C é uma circunferência de raio 1. Agora, vamos calcular a integral do campo vetorial F ao longo da curva C usando o Teorema de Green. O teorema estabelece que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada simples é igual à integral dupla do rotacional do campo vetorial sobre a região delimitada pela curva. O rotacional do campo vetorial F é dado por: ∇ × F = (∂F2/∂x - ∂F1/∂y) = (2 - (-2y)) = 2 + 2y Agora, vamos calcular a integral dupla do rotacional de F sobre a região delimitada pela curva C, que é o círculo de raio 1: ∬(2 + 2y) dA Como a região é um círculo de raio 1, podemos usar coordenadas polares para simplificar a integral. A integral dupla se torna: ∫[0,2π] ∫[0,1] (2 + 2r*sinθ) r dr dθ Integrando em relação a r e θ, obtemos: ∫[0,2π] ∫[0,1] (2r + 2r*sinθ) dr dθ Integrando em relação a r, temos: ∫[0,2π] [(r^2 + r^2*sinθ)]|[0,1] dθ Simplificando, temos: ∫[0,2π] (1 + sinθ) dθ A integral de (1 + sinθ) em relação a θ é: θ - cosθ |[0,2π] Substituindo os limites de integração, temos: (2π - cos(2π)) - (0 - cos(0)) Simplificando, temos: 2π - 1 - (0 - 1) = 2π - 1 + 1 = 2π Portanto, a integral do campo vetorial F ao longo da curva C é igual a 2π. Portanto, a alternativa correta é a opção 4.