1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Prof. Simone Introdução Nas mais diversas áreas das ciências exatas, ocorrem situações em que necessitam...

1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES

Prof. Simone

Introdução

Nas mais diversas áreas das ciências exatas, ocorrem situações em que necessitamos determinar um número ξ, para o qual a função f(x) seja zero, ou seja f(ξ)= 0. Este número é chamado zero da função f(x) ou raiz da equação f(x) = 0.

Começou-se a falar em equações como hoje conhecemos a partir do século XII. Com Bhaskara, tornou-se conhecida a fórmula para resolução de uma equação do 20 grau.

Nicolo Fontana após muito estudo encontrou solução para as equações do 30 grau, cujo trabalho foi publicado por Jerônimo Cardano. Tais fórmulas como as do 40 grau são conhecidas como fórmulas de Cardano.

Em 1824, Niels Abel provou que equações de grau superior a 4 não podem ser resolvidas de forma coerente. Este teorema, com o teorema fundamental da álgebra, enunciado por D’alembert em 1746 que diz: “Toda equação polinomial de grau n possui exatamente n raízes”, foi demonstrado por Gauss em 1799.

A partir daí, os métodos para o cálculo das n raízes de um polinômio de grau n são voltados aos métodos iterativos, que também são aplicáveis às equações transcendentes. A ideia central desses métodos é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida “refinar” essa aproximação através de um processo iterativo.

Esses métodos constam de duas fases:

Fase 1: Localização ou isolamento das raízes. Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x).

Teorema 1: Seja f(x) uma função contínua em [a; b]. Se f(a). f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ξ, entre a e b, que é zero de f(x).

f(x)

a b
ξ1 ξ2 ξ3 x

f(a). f(b) <0

– 6x2 –13x + 42

Como o domínio de f(x) é D(f) = R, temos a seguinte tabela:

x -∞ -100 -10 -5 -4 -2 0 1 3 4 6 8 10 …

f(x) - - - - - + + + - - - + + …

f(a)f(b) <0 f(a)f(b) <0 f(a)f(b) <0

Assim como f(x) é contínua para qualquer x ∈ R e também observando que f(a)f(b)<0, temos os intervalos I1 = [-4, -2], I2 = [1, 3 ] e I3 = [6, 8] que contém pelo menos uma raiz de f(x).

Exemplo2: Seja f(x) = xex −− 5

x g(x) h(x)
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5

1,0
1,6
2,7
4,5
7,4
12,2

2,0
2,5
2,8
3,0
2,9
2,6

y

y = g(x)

y = h(x)

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 x

Logo, a função tem uma raiz ξ ∈ ( 1, 2)

Grau de exatidão da raiz

Depois de isolar a raiz no intervalo [a, b], passamos a determiná-la através de métodos numéricos. Estes métodos fornecerão uma sequência {xi} de aproximações, cujo limite é a raiz exata ξ.

Teorema:

Seja ξ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada de f(x) = 0, com ξ e xn pertencentes ao intervalo [a, b] e |f ‘(x)|≥ m > 0 para x∈ [a, b], onde m = mín |f ‘(x)|,

a ≤ x ≤ b
então,
|f(xn)|
|xn - ξ|≤
m

Exemplo 5:

Sendo f(x) = x2 – 6, determinar o erro cometido com xn = 2,446 no intervalo [2, 3].

m = mín |2x| = 4
2≤x≤ 4

|f(xn)| 0,017084
|xn - ξ|≤ |2,446 - ξ|≤
m 4

|2,446 - ξ|≤ 0,0043 ξ = 2,446 ± 0,0043

Muitas vezes, o cálculo de m é muito trabalhoso, por esta razão, a tolerância ∈ é avaliada por um dos critérios abaixo:

|f(xn)|≤ ∈
|xn – xn-1|≤ ∈
|xn – xn-1