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Equações Algébricas e Transcendentes 1 – Introdução A resolução de equações polinomiais e, também, as equações transcendentais que, na maioria das vezes, não têm solução exata e que pelos métodos analíticos teriam um processo de resolução muito complicado e demorado utiliza-se métodos numéricos. Determinar uma raiz real de equações polinomiais ou transcendentais significa determinar um número α, com α ∈ ℜ, de forma que f (α) = 0. Para encontrar esse valor fazendo uso de métodos numéricos devemos seguir duas etapas: Etapa I: Isolamento de raízes – que consiste em encontrar um intervalo [a, b] que contenha uma raiz α da equação f (x) = 0. Etapa II: Refinamento ou melhoramento – é a etapa na qual refinamos ou melhoramos a aproximação encontrada para a raiz estimada na etapa anterior até que atenda a uma precisão pré-fixada. Etapa I – Isolamento de raízes Nesta etapa deve-se fazer uma análise gráfica da função f (x) com o objetivo de definir um intervalo inicial [a,b] que contenha uma raiz para, em seguida, na segunda etapa, refinar essa raiz até que atenda a tolerância estipulada. Um importante teorema da álgebra auxilia nessa análise. Teorema de Cauchy-Bolzano Seja f uma função contínua em um intervalo [a; b]. Se f (x) assume valores de sinais opostos nos pontos extremos desse intervalo, ou seja, f(a). f(b) < 0 então existe pelo menos uma raiz x = 𝛼, 𝛼 ∈ ϵ [a; b] da equação f(x) = 0. CENTRO UNIVERSITÁRIO BARRIGA VERDE- UNIBAVE Pró-Reitoria de Ensino e Graduação Curso de Engenharia Civil Professora: Vanessa Isabel Cataneo Disciplina: Cálculo Numérico Fase: 5º Exemplo 1: Determinar um intervalo [a,b] que contenha uma raiz para a equação f (x) = 3x2 – 4x – 1. Exemplo 2 : Determinar um intervalo [a,b] que contenha uma raiz para a equação f(x) = 2x - cos x Após encontrar o intervalo [a,b] de uma equação se aplica a Etapa II. Etapa II – Refinamento ou melhoramento O refinamento ou melhoramento do intervalo encontrado na etapa I ocorre através da aplicação de métodos numéricos. Estes métodos pertencem à classe dos métodos iterativos que consiste em uma sequência de instruções executadas passo a passo, algumas das quais podem ser repetidas em ciclos. Em cada iteração realizada, usamos o resultado da iteração anterior. Para que se aponte um resultado final que atenda a tolerância pré-fixada, é necessário aplicar critérios de parada. Quando esses critérios forem atingidos, se determinará a resposta aproximada para o problema. Resumo dos passos para executar um método iterativo Métodos iterativos para encontrar raízes ou zeros de equações algébricas e transcendentais. Método da bissecção Método da falsa posição O método da falsa posição, analogamente ao método da bissecção, gera uma sequencia convergente de aproximações (𝑥𝑘) para a raiz α da equação, desde que a função seja contínua no intervalo [a,b] e que tenhamos a garantia de que 𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0 e que a amplitude do intervalo satisfaça a precisão ε estabelecida. A diferença básica entre os métodos é que o da bissecção usa média aritmética do intervalo para determinar uma aproximação da raiz exata α, enquanto que o de falsa posição usa a média aritmética ponderando do intervalo. Critério de parada (CP): se CP = |c – a| < ε ⇒ x0 = c é a raiz aproximada de a que atende a tolerância ε. Método de Newton-Raphson Este método segue os seguintes critérios: Método da secante O método da secante é uma aproximação para o método de Newton-Raphson, sendo aconselhado utilizá-lo em casos em que é muito trabalhoso obter a derivada da função. Na aplicação dessa equação é necessário o uso de duas aproximações 𝑥𝑘 e 𝑥𝑘−1 para a raiz a da equação f (x) = 0.
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