3 AULA 3 EQUAÇÕES ALGEBRICAS E TRANSCENDENTES

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E 
TRANSCENDENTES
ALVARO A. F. SOUZA
RAIZES
Necessidade de determinar um número ℰ tal que f(�)=0
Equações Algébricas de 1º,2º,algumas de 3º,4º graus e algumas 
transcendentes podem ter suas raízes computadas através de métodos 
analíticos.
Polinômio de grau superior a 4 e a maioria das equações transcendentes só 
podem ser resolvidas por métodos que aproximam a solução.
Método não fornece raízes exatas, mas sim uma aproximação de uma 
exatidão requerida desde que certas condições sobre f sejam satisfeitas.
RAIZES
Para se calcular raízes duas etapas devem ser seguidas:
Isolar a raiz, achar um intervalo [a,b], menor possível que contenha somente 
uma raiz da equação f(x)=0;
Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão 
requerido;
ISOLAMENTO DE RAIZES
Se uma função contínua 
f(x) assume valores de 
sinais opostos nos 
extremos do intervalo 
[a,b], isto é, f(a).f(b)<0, 
então o intervalo 
conterá no mínimo uma 
raiz da equação f(x)=0.
RAÍZES ÚNICAS
A raíz de uma função em um 
intervalo será única se a 
derivada f’(x)>0 ou f’(x)<0 para 
a<x<b.
COROLÁRIO
Uma equação algébrica 
de grau ímpar com 
coeficientes reais, tem 
no mínimo, uma raiz 
real.
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
Dado um polinômio P(x), um problema que se coloca é o de calcular o valor de 
P(x) para x=x0, ou seja, P(x0). Este problema aparece, por exemplo, quando se 
quer isolar uma raiz.
VALOR NUMÉRICO DE UM POLINÔMIO
Para calcular P(x
0
), sendo P(x) dado pelo primeiro membro do polinômio 
abaixo, é necessário fazer n(n+1)/2 multiplicações e n adições.
Se o grau do polinômio for elevado(digamos n�20), o cálculo de P(x0), além 
de se tornar muito laborioso, isto é, também, ineficiente em termos 
computacionais .
AVALIANDO
P(x) = 3x�+2x�-10x�+2x�-15x�-3x⁴+2x³-16x²+3x-5 no ponto 2, 
tem-se:
P(2) = 3.2�+2.2�-10.2�+2.2�-15.2�-3.2�+2.2³-16.2²+3.2-5
=3.512+2.256-10.128+2.64-15.32-3.16+2.8-16.4+3.2-5
=321
Número de operações requeridas:
Multiplicações =9.(9+1)/2=45
Adições = 9 
MÉTODO DE BRIOT-RUFFINI
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
O dispositivo de Briot-Ruffini 
necessita apenas de n multiplicações 
e n adições para um polinômio de 
grau n, diferente do método de 
divisão de polinômio que necessita 
de n(n+1)/2 multiplicações e n 
adições.
an an-1 an-2 ... a1 a0
c cbn +cbn-1 ... cb2 +cb1
bn bn-1 bn-2 ... b1 b0= r
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
Dado P(x) = x³-7x²+16x-10
P(2) = 2 P(-3)= -148
1 -7 16 -10
-3 -3 +30 -138
1 -10 46 -148
1 -7 16 -10
2 +2 -10 +12
1 -5 6 2
DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI
Dado P(x) = x³-7x²+16x-10
P(1) = 0
1 -7 16 -10
1 +1 -6 +10
1 -6 10 0
ALGORITMO DE HORNER
Assim como o dispositivo de Briot-Ruffini, o algoritmo de 
Horner necessita apenas de n multiplicações e n adições 
para um polinômio de grau n, diferente do método de 
divisão de polinômio que necessita de n(n+1)/2 
multiplicações e n adições.
ALGORITMO DE HORNER
O algoritmo de Horner consistem em reescrever o polinômio de forma a evitar 
potências.
ALGORITMO DE HORNER EXEMPLO
ALGORITMO DE HORNER EXEMPLO
P(x)=
Multiplicações = 9
Adições = 9
ALGORITMO DE HORNER IMPLEMENTAÇÃO
Algoritmo de Horner
{ Objetivo: Avaliar um polinômio de grau n no ponto a }
Parâmetros de entrada n, c, a
{ grau, coeficientes e ponto a ser avaliado, onde c é tal que }
{ P(x)=c(1)xn+c(2)xn-1+...+c(n)x+c(n+1) }
Parâmetros de saída y { ordenada P(a) }
y<-- c(1)
Para i<-- 2 até n+1 faça
y<-- y*a+c(i)
Fim para
Fim algoritmo
OS LIMITES DAS RAÍZES REAIS - TEOREMA DE LAGRANGE
(Teorema de Lagrange): Sejam an>0, a0≠0 e k(0� k � n-1) o maior índice dos 
coeficientes negativos do polinômio P(x). Então o limite superior das raízes 
positivas de um Polinômio pode ser dado por:
Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes do polinômio ou B é o valor 
absoluto do maior coeficiente negativo em módulo.
Dado o seguinte polinômio
EXEMPLO TEOREMA DE LAGRANGE
DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES
Para determinar os limites superiores e inferiores das raízes positivas e 
negativas, são necessárias três equações auxiliares
P
1
(x) = xnP(1/x) = 0,
P
2
(x) = P(-x) = 0 e
p
3
(x) = xnP(-1/x) = 0.
Sendo 
i
 , i=0,1,2,...,n as raízes de P(x) = 0, então P(x) na forma fatorada é:
P(x) = c
n
 (x-�
1
)(x-�
2
)...(x-�
n
). 
DEFININDO OS OUTROS LIMITES DAS RAÍZES
Desse modo teremos,
P1(x) = cn x
n(1/x- 1)(1/x- 2)...(1/x- n),
P1(x) = cn (1-x 1)(1-x 2)...(1-x n),
 cujas raízes são 1/ 1, 1/ 2, …,1/ n.
Similarmente,
P2(x) = cn (-x- 1)(-x- 2)...(-x- n), 
com raízes - 1, - 2, … , - n ,
e
P3(x) = cn x
n(-1/x- 1)(-1/x- 2)...(-1/x- n),
P3(x) = cn(-1-x 1)(-1-x 2)...(-1-x n), 
sendo as raízes -1/ 1, -1/ 2, …,-1/ n.
LIMITES INFERIORES E SUPERIORES 
Se 1/ �
q
 � L1 --> �q � 1/L1 => 1/L1� �
+ � L
Se -�
r
 � L2 --> �r � -L2 e Se -1/ �s � L3 --> �s � -1/L3 => -L2� �
- � -1/L3
 
1/L1� �
+ � L
Limites positivos 
-L2� �
- � -1/L3
Limites negativos
NOMENCLATURA
k é o índice do primeiro coeficiente negativo
n é o grau do polinômio
B é o valor absoluto do maior coeficiente negativo em módulo
Li é o limite superior das raízes positivas de Pi(x)=0 dado pelo teorema de 
Lagrange
L� são os limites superiores e inferiores das raízes positivas e negativas de 
P(x)=0, sendo L (P) = L, L (P1) =1/L1 ,L (P2) = -L2, L (P3) =-1/L3.
EXEMPLO
P(x)=x⁴+2x³-13x²-14x+24 = 0
L=4,74
-L2
|
-1/L3
|
1/L1
|
L
|
EXEMPLO
NÚMERO DE RAÍZES REAIS
A regra de sinais de Descartes é uma maneira simples para determinar o 
número de raízes reais de uma operação algébrica. Sabendo-se os limites e o 
número das raízes reais, a tarefa de isolar esas raízes ficará grandemente 
facilitada. 
REGRA DE SINAIS DE DESCARTES
O número de raízes reais positivas n+ de P(x)=0 é igual ao número de 
variações de sinais na sequência dos coeficientes ou é menor que este 
número por um inteiro par, sendo as raízes contadas de acordo com a sua 
multiplicidade e não sendo considerados os coeficientes nulos.
Corolário: Se P(x)=0 não possuir coeficientes nulos, então o número de raízes 
reais negativas n- (contando multiplicidades) é igual ao número de 
permanências de sinais na sequência ou é menor que este número por um 
inteiro par.
Não discerne entre raizes rais ou complexas.
EXEMPLO
P(x)=x⁴+2x³-13x²-14x+24 = 0
n+ = 2 ou 0, e n- =2 ou 0.
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma 
função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja 
solução não pode ser expressa através de funções elementares.
De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução 
exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário 
recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução.
[wikipedia]
https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_num%C3%A9rico
EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
As equações transcendentes mais comuns que aparecem são:
equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como 
argumento de uma função trigonométrica quanto independente. 
equações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita.
Uma equação transcendente pode ter infinitas soluções.
[wikipedia]
EX: f(x)=sen(x) =0 -> infinitas raízes, 
f(x)=sen(x) - 2 =0 -> não possui raízes.
FORMA DE OBTER RAÍZES
O método gráfico é maneira mais simples para achar um intervalo que 
contenha uma única raíz.
Ele consistem em fazer um esboço da função no intervalo de interesse e 
identificar onde a função se anula.
A maior dificuldade das equações transcendentes consiste em determinar 
este intervalo.
CONDIÇÃO DE ERROS DE RAÍZES
Algoritmo Fornecer um intervalo [a,b], no qual a função f(x) troca de sinal, ou 
seja f(a).f(b)<0.
Apesar de a raíz não estar necessariamente isolada, pois f(a).f(b)<0 só nos diz 
que existe um número impar de raizes no intervalo, o algoritmo fornecerrá 
um intervalo de partida para o isolamento de uma raiz.
Se f(a).f(b) � 0 então existe um número ímpar de raízes no intervalo [a,b], se 
f(a).f(b)>0 então ou nãoexiste raiz, ou existe um número par de raizes no 
intervalo [a,b].
REPRESENTAÇÃO DE GRÁFICOS
f(x)=sen(x).
REPRESENTAÇÃO DE GRÁFICOS
f(x)=2x³-cos(x-1) -3