CÁLCULO IV

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1. 
 
 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 
em relação às variáveis x, y onde x está no intervalo 1≤x≤41≤�≤4 e y esta no 
intervalo 1≤y≤21≤�≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo 
de ∫∫1dxdy∫∫1���� no 1≤x≤41≤�≤4 e 1≤y≤21≤�≤2 . O que Gisele 
apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da 
integral ∫∫1dxdy∫∫1���� no intevalo dado ? 
 
 
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 
4 
 
 
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 
2 
 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 
1 
 
 
A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 
6 
 
 
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 
4 
 
 
 
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x 
varia 1≤x≤41≤�≤4 e y varia no intervalo 1≤y≤21≤�≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo 
de ∫∫1dxdy∫∫1���� . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da 
integral ∫∫1dxdy∫∫1����: 
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141����=∫12��� Passando os limites de integração de x 
temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12���=∫12(4−1)��=∫123��=3∫12�� 
3∫21dy=3y3∫12��=3� Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 
1 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela 
parábola y2 = 2x + 6. 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
36 
 
 
22 
 
 
30 
 
 
56 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-� ∫20∫02 dxdydz. 
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1 
 
 
3 
 
 
1.5 
 
 
2.5 
 
 
2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano 
xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
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45 
 
 
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1/3 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2��2, ou seja, eu onde u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
e 
 
 (e−1)2(�−1)2 
 
 
e - 1 
 
 
1/2 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0������������=�2 
∫10yex2dx∫01���2�� passando os limites de integracao de y temos ∫10xex2dx∫01���2�� 
chame u = x2 e du = 2x dx 
∫12eudu=12ex2∫12����=12��2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=�−12 
 
 
 
 
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6. 
 
 
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos 
afirmar 
que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[�,�]�[�,�]
�(�)ℎ(�)����=∫���(�)��∫��ℎ(�)�� 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D 
= [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. 
 
 
10 u.v 
 
 
5 u.v 
 
1 u.v 
 
 
9 u.v 
 
 
4 u.v 
 
 
 
Explicação: 
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente 
então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[�,�]�[�,�]�(�)ℎ(�)����=∫���(�)��∫��ℎ(�)�
� 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano 
x+y+z = 2. 
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D. 
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[�,�]�[�,�]�(�)ℎ(�)����=∫���(�)��∫��ℎ(�)�� Utili
zando a definição dada temos ∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−�−����� 
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012�−�2/2−����=∫01(3/2)−���=1 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os 
planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
 
 
40 
 
 
49 
 
48 
 
 
35 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: 
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 
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