No espaço vetorial P dos polinômios de grau menor ou igual a 2 de coeficientes reais, qual dos conjuntos abaixo é linearmente dependente? a. { v ...

Para verificar se um conjunto de vetores é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo (0). a) O conjunto {v = 3x² + 1} possui apenas um vetor, portanto é linearmente independente. b) Para verificar se o conjunto {v = 3x² + 1, v = –3x² + 2, v = x² + x + 1} é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo (0). Podemos escrever essa combinação linear como: c1(3x² + 1) + c2(-3x² + 2) + c3(x² + x + 1) = 0 Simplificando, temos: (3c1 - 3c2 + c3)x² + (c3)x + (c1 + 2c2 + c3) = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos x², x e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos leva ao sistema de equações: 3c1 - 3c2 + c3 = 0 c3 = 0 c1 + 2c2 + c3 = 0 A terceira equação nos diz que c3 = -c1 - 2c2. Substituindo na primeira equação, temos: 3c1 - 3c2 - c1 - 2c2 = 0 Simplificando, temos: 2c1 - 5c2 = 0 Isso nos leva à solução c1 = 5/2 e c2 = 2/5. Portanto, existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo, o que significa que o conjunto é linearmente dependente. c) Para verificar se o conjunto {v = 3x² + 1, v = –x + 2} é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo (0). Podemos escrever essa combinação linear como: c1(3x² + 1) + c2(-x + 2) = 0 Simplificando, temos: (3c1)x² + (-c2)x + (c1 + 2c2) = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos x², x e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos leva ao sistema de equações: 3c1 = 0 -c2 = 0 c1 + 2c2 = 0 A primeira equação nos diz que c1 = 0. Substituindo na terceira equação, temos: 2c2 = 0 Isso nos leva à solução c2 = 0. Portanto, a única solução é a trivial, o que significa que o conjunto é linearmente independente. d) Para verificar se o conjunto {v = 3x² + 2x + 1, v = –x² + 2, v = x² – 2x – 9} é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo (0). Podemos escrever essa combinação linear como: c1(3x² + 2x + 1) + c2(-x² + 2) + c3(x² – 2x – 9) = 0 Simplificando, temos: (2c1 - c2 + c3)x² + (2c1)x + (c1 + 2c2 - 9c3) = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos x², x e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos leva ao sistema de equações: 2c1 - c2 + c3 = 0 2c1 = 0 c1 + 2c2 - 9c3 = 0 A segunda equação nos diz que c1 = 0. Substituindo na primeira equação, temos: -c2 + c3 = 0 Isso nos leva à solução c2 = c3. Substituindo na terceira equação, temos: 2c2 - 9c3 = 0 Isso nos leva à solução c2 = 0 e c3 = 0. Portanto, a única solução é a trivial, o que significa que o conjunto é linearmente independente. e) Para verificar se o conjunto {v = 3x² + 1, v = –3x² + 2} é linearmente dependente, precisamos verificar se existe uma combinação linear desses vetores que resulte no vetor nulo (0). Podemos escrever essa combinação linear como: c1(3x² + 1) + c2(-3x² + 2) = 0 Simplificando, temos: (3c1 - 3c2)x² + (c1 + 2c2) = 0 Para que essa equação seja verdadeira para todo x, os coeficientes dos termos x² e o termo constante devem ser iguais a zero. Isso nos leva ao sistema de equações: 3c1 - 3c2 = 0 c1 + 2c2 = 0 A primeira equação nos diz que c1 = c2. Substituindo na segunda equação, temos: 3c1 = 0 Isso nos leva à solução c1 = 0 e c2 = 0. Portanto, a única solução é a trivial, o que significa que o conjunto é linearmente independente. Portanto, o conjunto linearmente dependente é o conjunto b) {v = 3x² + 1, v = –3x² + 2, v = x² + x + 1}.