1. [3 pt] Faça o gráfico das funções f (x) = ln ( x2 4 + x ) g(x) = |x − 1| − |x + 1| h(x) = ex −1 ex + 1 (a) Determine o domínio da função ...

(a) Para determinar o domínio da função f(x) = ln((x^2)/(4 + x)), devemos considerar as restrições da função logarítmica. O argumento do logaritmo natural deve ser maior que zero, portanto, devemos ter x^2/(4 + x) > 0. Para isso, podemos analisar os sinais dos fatores x^2 e (4 + x). Quando x^2 > 0 e 4 + x > 0, temos que x > 0 e x > -4, respectivamente. Portanto, o domínio da função f é dado por x > 0 e x > -4. (b) Para determinar a imagem da função g(x) = |x - 1| - |x + 1|, devemos analisar os possíveis valores que a função pode assumir. Quando x < -1, temos que g(x) = -(x - 1) - (-(x + 1)) = -x + 1 + x + 1 = 2. Quando -1 ≤ x ≤ 1, temos que g(x) = -(x - 1) - (x + 1) = -x + 1 - x - 1 = -2x. Quando x > 1, temos que g(x) = (x - 1) - (x + 1) = x - 1 - x - 1 = -2. Portanto, a imagem da função g é dada por {-2, -2x, 2}, onde x pertence ao intervalo [-1, 1]. (c) A função h(x) = (e^x - 1)/(e^x + 1) é uma função invertível. Para verificar isso, devemos analisar se a função é injetora, ou seja, se cada valor de x corresponde a um único valor de y. Podemos observar que a função h(x) é uma função racional, e a sua derivada é dada por h'(x) = (e^x + 1 - e^x + 1)/(e^x + 1)^2 = 0. A derivada é sempre positiva, o que indica que a função é crescente em todo o seu domínio. Portanto, a função h(x) é injetora e, consequentemente, invertível.